GUT 규격화에서 √(5/3) 인자가 붙는 이유

문제

교과서는 $g_1 = \sqrt{5/3}\,g'$을 "SU(5) 규격화"라고만 적고 넘어가는 경우가 많다. 이 인자를 SU(5)를 모른다고 가정하고 표준모형 안에서만 계산해 보자.

계산

SU(5)의 모든 생성자는 $\bar{\mathbf 5}$(또는 $\mathbf 5$) 위에서 $\tr(T^aT^b) = \tfrac12\delta^{ab}$로 규격화된다. $Y = c\,T^{24}$라 두고 $\mathbf 5$ 안의 초전하 $(-\tfrac13,-\tfrac13,-\tfrac13,\tfrac12,\tfrac12)$로 대각합을 계산하면

$\tr(T^{24}T^{24}) = \tfrac12$이어야 하므로 $c^2 \cdot \tfrac12 = \tfrac56$, 즉 $c^2 = \tfrac53$.

같은 결과를 $\bar{\mathbf 5} \oplus \mathbf{10}$ 전체(한 세대 15개 바일 페르미온)에서 확인하면 (1) 의 비율이 유지된다. 즉 $\sum Y^2 / \sum T_3^2 = \tfrac53$이며, 이 비율은 표준모형의 초전하 배정만으로 결정된다. SU(5)는 이 비율에 의미를 부여할 뿐이다.

결론

(1) 의 계산은 SU(5) 단원의 식 (1)로 연결된다. 원 논문은 [1]이고 러닝 계산은 [2]다.

남은 질문

• SO(10)에서는 $Y$가 $\mathbf{16}$ 안에 들어가므로 같은 계산을 반복하면 어떤 인자가 나오는가? (같은 $\sqrt{5/3}$이어야 한다. SU(5) ⊂ SO(10)이므로.)
• 플립된 SU(5)에서는 $Y$가 $U(1)_X$와 섞이므로 규격화가 달라진다. 별도 노트 필요.

참고문헌

1. Georgi, H. and Glashow, S. L. (1974). Unity of All Elementary-Particle Forces. Physical Review Letters 32, 438–441. doi:10.1103/PhysRevLett.32.438
2. Georgi, H., Quinn, H. R., Weinberg, S. (1974). Hierarchy of Interactions in Unified Gauge Theories. Physical Review Letters 33, 451–454. doi:10.1103/PhysRevLett.33.451