SU(5) 대통일

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수식 없는 요지

표준모형은 세 개의 대칭을 나란히 놓아둔 이론이다. 대통일은 이 셋을 더 큰 대칭 하나의 부분으로 보는 제안이고, 그중 가장 작고 가장 오래된 후보가 SU(5)다. 이 제안의 힘은 미학이 아니라 강제성에 있다. 한 세대의 물질 입자 열다섯 개가 두 묶음에 빈틈없이 들어가고, 전자와 양성자의 전하가 왜 정확히 크기가 같은지가 계산으로 나오며, 양성자가 붕괴한다는 결과까지 따라 나온다. 마지막 예측이 이 이론을 실험 앞에 세웠고, 가장 단순한 형태는 그 실험에서 떨어졌다.

동기 · 표준모형이 설명하지 못하고 입력받는 것

$SU(3)_C \times SU(2)_L \times U(1)_Y$ 는 결합상수 세 개를 따로 측정해 넣어야 하고, 초전하 값 다섯 개를 세대마다 손으로 배정해야 한다. 특히 전자와 양성자의 전하 크기가 $10^{-21}$ 수준까지 같다는 사실은 표준모형 안에서 우연이다. $U(1)$ 의 생성자는 고윳값을 아무 실수나 가질 수 있으므로, 쿼크의 전하가 하필 $1/3$ 의 배수일 이유가 없다.

조지와 글래쇼의 착상은 간단하다 [1]. $U(1)$ 을 단순군 안에 넣으면 그 생성자는 더 이상 자유롭지 않다. 리 대수의 표현론이 고윳값을 이산적으로 묶는다. 전하 양자화는 가정이 아니라 정리가 된다.

계수가 4인 표준모형 게이지군을 담는 가장 작은 단순군이 $SU(5)$ 다. 원 논문 요약은 조지-글래쇼 1974에 정리해 두었다.

핵심 수식

한 세대의 왼손 바일 장 열다섯 개는 두 표현에 들어간다.

\bar{\mathbf 5} = \begin{pmatrix} d^c_r \\ d^c_g \\ d^c_b \\ e^- \\ -\nu_e \end{pmatrix}_L, \qquad \mathbf{10} = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 0 & u^c_b & -u^c_g & u_r & d_r \\ -u^c_b & 0 & u^c_r & u_g & d_g \\ u^c_g & -u^c_r & 0 & u_b & d_b \\ -u_r & -u_g & -u_b & 0 & e^+ \\ -d_r & -d_g & -d_b & -e^+ & 0 \end{pmatrix}_L \tag{1}

초전하는 대각 생성자 하나에 비례한다.

Y = \sqrt{\tfrac53}\;T^{24}, \qquad T^{24} = \frac{1}{\sqrt{60}}\,\mathrm{diag}(-2,-2,-2,3,3) \tag{2}

이 규격화가 통일 척도에서의 와인버그 각을 고정한다.

\sin^2\theta_W\big|_{M_X} = \frac{g'^2}{g^2+g'^2} = \frac38 \tag{3}

부서진 생성자를 타는 $X,\,Y$ 보손은 쿼크와 렙톤을 직접 바꾸고, 그 교환은 차원 6 연산자를 남긴다.

\mathcal O_6 \sim \frac{g_5^2}{M_X^2}\,(qq)(q\ell), \qquad \tau_p \sim \frac{M_X^4}{\alpha_{\text{GUT}}^2\,m_p^5} \tag{4}

유도 · 규격화 인자와 전하 양자화

먼저 (2) 의 $\sqrt{5/3}$ 이 어디서 오는지 보자. $SU(5)$ 의 생성자는 기본 표현에서 $\tr(T^aT^b) = \tfrac12\delta^{ab}$ 로 규격화된다. 한 군의 모든 생성자가 같은 규격을 따라야 결합상수 하나 $g_5$ 가 모든 상호작용을 지배한다.

$\bar{\mathbf 5}$ 안의 초전하는 (1) 의 성분에서 읽는다. $d^c$ 는 $Y = 1/3$ , 렙톤 이중항은 $Y = -1/2$ 이므로 행렬로는 $Y = \mathrm{diag}(\tfrac13,\tfrac13,\tfrac13,-\tfrac12,-\tfrac12)$ 다. 이 행렬의 대각합은 $3(\tfrac13) + 2(-\tfrac12) = 0$ 으로 자동으로 사라진다. 대각합 제곱은

\tr Y^2 = 3\left(\frac19\right) + 2\left(\frac14\right) = \frac13 + \frac12 = \frac56 .

규격화된 생성자를 $T^{24} = Y/c$ 로 두면 $\tr (T^{24})^2 = (5/6)/c^2 = 1/2$ 에서 $c = \sqrt{5/3}$ 이다. 공변 미분에 들어가는 항은 $g' Y = g_5 T^{24} = (g_5/c)\,Y$ 이므로 $g' = g_5/\sqrt{5/3}$ , 즉 $g_1 \equiv \sqrt{5/3}\,g' = g_5$ 다. 앞 단원의 $b_1$ 에 붙은 $\tfrac35$ 는 바로 이 $c^{-2}$ 다. (3) 은 $g = g_5$ , $g'^2 = \tfrac35 g_5^2$ 를 넣으면 $(3/5)/(1+3/5) = 3/8$ 로 곧바로 나온다.

전하 양자화는 대각합이 사라진다는 조건에서 나온다. $Q = T^3 + Y$ 도 $SU(5)$ 의 생성자이므로 $\bar{\mathbf 5}$ 위에서 대각합이 0이어야 한다.

3\,Q_{d^c} + Q_{e^-} + Q_{\nu} = 0 \;\Longrightarrow\; 3\,Q_{d^c} = 1 \;\Longrightarrow\; Q_d = -\frac13 \tag{5}

쿼크의 전하가 렙톤 전하의 정확히 $1/3$ 인 이유가 여기 있다. 색이 셋이라는 사실과 쿼크 전하의 분모가 3이라는 사실이 같은 하나의 조건에서 나온다. 색의 개수가 전하 단위를 정한다는 이 연결은 표준모형에는 없다.

표현 배정이 임의적이지 않다는 증거가 하나 더 있다. 게이지 변칙은 표현마다 $A(R)$ 로 계산되는데 $A(\bar{\mathbf 5}) = -1$ , $A(\mathbf{10}) = +1$ 이라 합이 정확히 0이다. 표준모형에서 세대마다 기적처럼 맞아떨어지던 변칙 상쇄가 $SU(5)$ 에서는 표현 하나의 성질이 된다 [2].

예제 1 · 수반 표현의 분해와 X, Y 보손

게이지 보손은 $\mathbf{24}$ 에 들어가고 표준모형 군 아래에서 이렇게 쪼개진다.

\mathbf{24} = (\mathbf 8,\mathbf 1)_0 \oplus (\mathbf 1,\mathbf 3)_0 \oplus (\mathbf 1,\mathbf 1)_0 \oplus (\mathbf 3,\mathbf 2)_{-5/6} \oplus (\bar{\mathbf 3},\mathbf 2)_{5/6} \tag{6}

앞의 셋이 글루온 여덟, 약한 상호작용 보손 셋, 초전하 보손 하나로 표준모형의 12개다. 남은 12개가 색과 약한 아이소스핀을 동시에 띠는 $X,\,Y$ 렙토쿼크 보손이다. 이들은 (1) 안에서 쿼크 성분과 렙톤 성분을 직접 연결하므로 바리온수도 렙톤수도 보존하지 않는다. 다만 $B-L$ 은 보존한다.

예제 2 · 양성자 수명 추정과 관측 한계

(4) 은 차원 분석이다. 진폭이 $g_5^2/M_X^2$ 에 비례하므로 붕괴율은 그 제곱에 남은 차원을 양성자 질량으로 채워 $\Gamma \sim \alpha_{\text{GUT}}^2 m_p^5/M_X^4$ 이다. 앞 단원의 비초대칭 교차점 $M_X \approx 3\times10^{14}\,\mathrm{GeV}$ 와 $\alpha_{\text{GUT}} \approx 1/40$ 을 넣으면

\tau_p \approx \frac{(3.2\times10^{14}\,\mathrm{GeV})^4}{(1/40)^2\,(0.94\,\mathrm{GeV})^5} \approx 2\times10^{61}\,\mathrm{GeV}^{-1}

이다. $1\,\mathrm{GeV}^{-1} = 6.6\times10^{-25}$ 초를 쓰면 $1.5\times10^{37}$ 초, 즉 $5\times10^{29}$ 년이다. 슈퍼카미오칸데는 $p \to e^+\pi^0$ 채널에서 $\tau/B > 2.4\times10^{34}$ 년(90퍼센트 신뢰수준)을 보고했다 [3]. 예측보다 네 자릿수 위다. 최소 비초대칭 $SU(5)$ 는 배제되었다.

초대칭 대통일은 $M_X \approx 2\times10^{16}\,\mathrm{GeV}$ 라 (4) 만 보면 $10^{36}$ 년으로 안전해 보이지만, 색 삼중항 힉스가 매개하는 차원 5 연산자가 $1/M_X$ 에만 비례해 $p \to K^+\bar\nu$ 를 훨씬 빠르게 만든다. 이 채널의 한계 역시 최소 초대칭 $SU(5)$ 를 강하게 압박한다.

연습문제

문제 1유도형

$\mathbf{10}$ 표현이 $\mathbf 5 \otimes \mathbf 5$ 의 반대칭 부분임을 이용해, 이 표현이 표준모형 군 아래에서 $(\mathbf 3,\mathbf 2)_{1/6} \oplus (\bar{\mathbf 3},\mathbf 1)_{-2/3} \oplus (\mathbf 1,\mathbf 1)_{1}$ 로 쪼개짐을 보이고 각 조각을 (1) 의 입자와 맞추시오.

해설

$\mathbf 5$ 의 지표를 색 셋과 약한 아이소스핀 둘로 나누어 $a = (i, \alpha)$ 로 쓰면 반대칭 조합은 $[ij]$ , $[i\alpha]$ , $[\alpha\beta]$ 세 종류다. $[ij]$ 는 색 반삼중항이고 아이소스핀 홑겹, $[i\alpha]$ 는 색 삼중항이자 이중항, $[\alpha\beta]$ 는 색 홑겹이자 아이소스핀 홑겹이다. 초전하는 (2) 을 두 지표에 더해 얻는다. 결과를 (1) 과 맞추면 $[i\alpha] = Q_L$ , $[ij] = u^c$ , $[\alpha\beta] = e^+$ 다.

흔한 오류는 $d^c$ 를 $\mathbf{10}$ 에서 찾는 것이다. 위아래 쿼크가 이중항에서 짝을 이루므로 그 켤레도 함께 있으리라 기대하기 때문인데, $SU(5)$ 는 $d^c$ 를 $\bar{\mathbf 5}$ 에, $u^c$ 를 $\mathbf{10}$ 에 서로 다른 묶음으로 배정한다. 이 비대칭이 바로 $SU(5)$ 가 쿼크와 렙톤을 섞는 방식이고, $SO(10)$ 에서 $\mathbf{16}$ 하나로 합쳐지면서 오른손 중성미자까지 들어오는 대목이다.

문제 2계산형

(4) 에서 $M_X$ 를 두 배로 키우면 수명이 몇 배가 되는가. 슈퍼카미오칸데 한계를 만족시키려면 $M_X$ 가 최소 얼마여야 하는지 추정하시오.

해설

수명은 $M_X^4$ 에 비례하므로 두 배면 16배다. $\tau \propto M_X^4$ 에서 $10^{30}$ 년을 $2.4\times10^{34}$ 년으로 올리려면 $M_X$ 를 $(2.4\times10^4)^{1/4} \approx 12.5$ 배 키워야 한다. $3\times10^{14}$ GeV 의 12.5배는 약 $4\times10^{15}$ GeV 다.

흔한 오류는 진폭이 $1/M_X^2$ 이니 수명도 $M_X^2$ 에 비례한다고 쓰는 것이다. 그럴듯한 이유는 전파 인자 하나만 떠올리기 때문이다. 붕괴율은 진폭의 제곱이므로 $1/M_X^4$ 이고, 수명은 그 역수다. 페르미 이론에서 $G_F \propto 1/M_W^2$ 이고 뮤온 수명이 $M_W^4$ 에 비례하는 것과 같은 구조다.

문제 3개념 진술형

측정된 $\sin^2\theta_W(M_Z) = 0.231$ 은 (3) 의 $3/8 = 0.375$ 와 크게 다르다. 이것이 (3) 을 부정하지 않는 이유를 설명하시오.

해설

(3) 은 통일 척도 $M_X$ 에서의 값이다. $\sin^2\theta_W = g'^2/(g^2+g'^2)$ 는 두 결합상수의 비이고 두 결합상수는 서로 다른 속도로 달리므로, 이 비 자체가 척도에 의존한다. 앞 단원 A4-1 의 1-루프 러닝 식을 $M_X$ 에서 $M_Z$ 로 거꾸로 돌리면 $0.375$ 는 $0.2$ 대로 내려온다. 오히려 이 내려옴의 크기가 맞는다는 것이 대통일의 몇 안 되는 정량적 성공이다.

흔한 오류는 $3/8$ 을 척도와 무관한 예측으로 읽는 것이다. 그럴듯한 이유는 이 값이 순수한 군론에서 나오기 때문이다. 군론이 주는 것은 경계 조건이지 관측값이 아니다. 군론적 관계식과 되틀맞춤군 방정식을 함께 써야 관측과 비교할 수 있는 숫자가 된다.

문제 4개념 진술형

$SU(5)$ 가 전하 양자화를 설명한다고 말할 때, 정확히 무엇이 설명되고 무엇은 여전히 입력인지 구분하시오.

해설

설명되는 것은 전하 고윳값들 사이의 비다. (5) 은 $Q_d/Q_e = 1/3$ 을 강제하고, 표현이 주어지면 열다섯 개 장의 전하가 모두 하나의 정수배 격자 위에 놓인다. 설명되지 않는 것은 전하의 단위, 즉 $e$ 자체의 크기다. 그것은 $g_5$ 라는 하나의 결합상수로 옮겨졌을 뿐 여전히 측정해서 넣는 값이다.

흔한 오류는 "전하 양자화가 설명되었다"를 "전하값이 계산되었다"로 읽는 것이다. 유혹적인 이유는 양자화라는 말이 이산성과 특정 값을 모두 연상시키기 때문이다. 통일이 하는 일은 자유 매개변수의 개수를 줄이는 것이고, 여기서는 초전하 다섯 개와 결합상수 세 개가 결합상수 하나와 표현 선택으로 줄었다. 이것이 통일의 정확한 성과이고, 이 기준은 뒤에 A5-7 에서 실패한 시도들을 판정할 때 그대로 쓰인다.

더 읽기

원 논문 [1]는 두 쪽이다. 표현 배정과 양성자 붕괴가 거기서 이미 지적된다.
결합상수 수렴과 $\sin^2\theta_W$ 예측은 [4]에서 같은 해에 따로 나왔다.
표현론 계산의 실무는 [2] IX장, 변칙 계수는 [5] 19장을 본다.
관측 쪽은 [3]의 $p \to e^+\pi^0$ 탐색이 현재 기준선이다.

참고문헌

Georgi, H. and Glashow, S. L. (1974). Unity of All Elementary-Particle Forces. Physical Review Letters 32, 438–441. doi:10.1103/PhysRevLett.32.438
Zee, A. (2016). Group Theory in a Nutshell for Physicists. Princeton University Press.
Takenaka, A. et al. (2020). Search for proton decay via $p \to e^+ \pi^0$ and $p \to \mu^+ \pi^0$ with an enlarged fiducial volume in Super-Kamiokande I-IV. Physical Review D 102, 112011. doi:10.1103/PhysRevD.102.112011 · arXiv:2010.16098
Georgi, H., Quinn, H. R., Weinberg, S. (1974). Hierarchy of Interactions in Unified Gauge Theories. Physical Review Letters 33, 451–454. doi:10.1103/PhysRevLett.33.451
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.

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A4-2SU(5) 대통일