대칭이 왜 물리학의 중심에 있는가

물리학에서 대칭은 좌우가 같은 모양을 뜻하지 않는다. 무언가를 바꿨는데 아무것도 달라지지 않을 때, 그 바꿈에 대해 대칭이 있다고 말한다. 공을 던지는 규칙이 서울에서나 부산에서나 같다면, 그 규칙은 장소를 옮기는 일에 대해 대칭이다. 어제 실험한 결과와 오늘 실험한 결과가 같다면, 규칙은 시각을 옮기는 일에 대해 대칭이다.

이것은 너무 당연해서 말할 가치가 없어 보인다. 실제로 오랫동안 그렇게 여겨졌다. 그런데 1918년에 에미 뇌터가 증명한 것은, 이 당연한 요구 하나하나가 정확히 하나씩의 보존 법칙과 짝을 이룬다는 사실이었다 [1].

짝지음

시각을 옮겨도 규칙이 같다는 것에서 에너지 보존이 나온다. 장소를 옮겨도 규칙이 같다는 것에서 운동량 보존이 나온다. 방향을 돌려도 규칙이 같다는 것에서 각운동량 보존이 나온다. 이 셋은 각각 따로 발견된 실험 법칙이었는데, 알고 보니 세 개의 다른 사실이 아니라 하나의 구조가 세 방향으로 드러난 것이었다.

짝지음이 왜 성립하는지 느낌만 말해 보자. 만약 물리 규칙이 오늘과 내일 다르다면, 오늘 공짜로 에너지를 얻고 내일 규칙이 바뀐 뒤 그 에너지를 도로 없애는 장치를 상상할 수 있다. 에너지가 보존되지 않는 세계는 규칙이 시간에 따라 흔들리는 세계다. 거꾸로 규칙이 흔들리지 않는 한, 장부에 적어 두면 절대 틀리지 않는 양이 하나 생긴다. 뇌터가 한 일은 이 직관을 정확한 정리로 만든 것이다. 그리고 역도 성립한다. 보존되는 양이 있으면 그것에 대응하는 대칭이 반드시 있다.

한 걸음 더

여기서 물리학이 한 걸음 더 나간다. 규칙이 장소마다 같아야 한다는 요구를 훨씬 강하게 만들어 본다. 단지 규칙이 같은 정도가 아니라, 각 지점에서 기준을 제각각 다르게 잡아도 결과가 달라지지 않아야 한다고 요구하는 것이다. 마을마다 시계를 다르게 맞춰 놓아도 전체 계산이 어긋나지 않으려면, 마을 사이의 시차를 알려 주는 무언가가 반드시 있어야 한다. 그 "시차를 알려 주는 것"의 자리에 힘을 매개하는 장이 들어선다.

놀라운 점은 이 요구가 힘의 존재뿐 아니라 힘의 구체적인 형태까지 상당 부분 결정한다는 것이다. 전자기력, 약한 핵력, 강한 핵력이 모두 이 방식으로 쓰인다. 힘을 먼저 관측하고 나중에 식을 맞춘 것이 아니라, 대칭을 요구했더니 힘이 따라 나온 것이다.

깨진 대칭

그런데 규칙이 대칭이라고 해서 세계가 대칭으로 보이는 것은 아니다. 연필을 심 끝으로 세우는 상황을 생각해 보자. 세워진 연필에게는 어느 방향도 특별하지 않다. 규칙은 완전히 대칭이다. 하지만 연필은 반드시 어느 한 방향으로 쓰러진다. 쓰러진 뒤의 세계를 보면 특정 방향이 특별해 보이고, 원래 규칙이 대칭이었다는 사실은 눈에 보이지 않는다.

자연에서 이런 일이 실제로 일어났다. 아주 뜨거웠던 초기 우주에서는 대칭이 그대로 보였지만, 식으면서 진공이 한 방향으로 쓰러졌다. 그 결과 어떤 매개 입자는 무거워졌고 어떤 것은 무게 없이 남았다. 오늘 우리가 보는 힘들의 차이는 규칙의 차이가 아니라 쓰러진 방향의 결과다. 대칭은 사라진 것이 아니라 숨은 것이다.

조심할 것

대칭이 강력한 도구라는 사실에서 "자연은 대칭을 사랑한다"거나 "대칭이 법칙보다 근본적이다"라는 결론으로 넘어가는 글이 많다. 이 넘어감은 논증이 아니다. 대칭이 유용한 것은 그것이 우리가 기술을 세우는 방식에 관한 강한 제약이기 때문이고, 그 제약이 세계 자체의 구조인지 우리 서술의 구조인지는 물리학 실험으로 가려지지 않는다 [2]. 게다가 아름다움은 참의 근거가 아니다. 역사에는 대칭을 근거로 제안되었다가 실험에 부정된 이론이 적지 않다 [3].

이어 읽을 곳은 뇌터류 항목과 뇌터 정리 I 단원, 그리고 이 문제를 양쪽에서 다루는 대칭에서 법칙으로 단원이다.

참고문헌

1. Noether, E. (1918). Invariante Variationsprobleme. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 235–257.
2. Wigner, E. P. (1960). The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences. Communications on Pure and Applied Mathematics 13, 1–14. doi:10.1002/cpa.3160130102
3. Morrison, M. (2000). Unifying Scientific Theories: Physical Concepts and Mathematical Structures. Unifying Scientific Theories, Cambridge University Press.