불변 변분 문제

한 문장 요약

작용이 매개변수를 가진 연속 변환군 아래에서 불변이면, 그 매개변수가 상수일 때는 보존되는 흐름이 나오고 함수일 때는 장 방정식들 사이의 항등식이 나온다.

핵심 주장

1. 제1정리: 작용이 유한한 개수의 상수 매개변수를 갖는 리 군 아래 불변이면, 매개변수 개수만큼의 보존류가 존재한다. 시간 평행이동은 에너지 보존, 공간 평행이동은 운동량 보존, 회전은 각운동량 보존에 대응한다.
2. 제2정리: 매개변수가 시공간의 임의 함수인 국소 대칭이면, 사정이 달라진다. 이때 나오는 것은 새 보존량이 아니라 오일러-라그랑주 방정식들 사이의 선형 항등식이다. 독립인 방정식의 개수가 줄어든다.
3. 역방향도 성립: 두 정리 모두 역이 성립한다. 보존류가 있으면 그에 대응하는 대칭이 있다. 대칭과 보존이 같은 사실의 두 얼굴이라는 진술은 여기서 정확해진다.
4. 일반 상대성과의 연결: 논문의 동기는 일반 상대성에서 에너지 보존이 왜 이상하게 보이는가였다. 제2정리는 좌표 불변성이 국소 대칭이므로 통상적 의미의 에너지 보존류가 나오지 않는 이유를 설명한다.

한계와 이후

정리는 작용 원리로 기술되는 계에만 적용된다. 라그랑지안이 없는 산일계나 열역학적 기술에는 그대로 쓸 수 없다. 또 고전적 진술이므로 양자화 뒤에는 고전 대칭이 변칙으로 깨질 수 있고, 그때 보존류는 살아남지 않는다. 제2정리는 오랫동안 덜 읽혔다가 게이지 이론이 표준이 된 뒤 게이지 제약 구조의 기초로 다시 읽혔다 [1]. 이 결과를 "대칭이 법칙보다 근본적"이라는 존재론적 주장으로 옮기는 일은 논문이 지지하지 않는다 [2].

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참고문헌

1. Yang, C. N. and Mills, R. L. (1954). Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review 96, 191–195. doi:10.1103/PhysRev.96.191
2. Wigner, E. P. (1960). The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences. Communications on Pure and Applied Mathematics 13, 1–14. doi:10.1002/cpa.3160130102