작용 원리

정의

작용 $S$ 는 경로 또는 장 배위 하나에 수 하나를 대응시키는 범함수다. 장론에서는 라그랑지안 밀도 $\lag$ 의 시공간 적분으로 쓴다.

경계에서 $\delta\phi = 0$ 인 임의의 변분에 대해 $\delta S = 0$ 이 되는 배위가 물리적 배위다.

오일러-라그랑주 방정식

변분을 전개하고 부분적분하면

부분적분에서 나온 표면항 $\partial_\mu\!\left(\frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi\right)$ 이 경계조건으로 사라진다는 가정이 들어간다. 이 가정이 깨지는 경우(예를 들어 일반상대론의 깁스-요크-호킹 항)에는 작용에 경계항을 따로 더해야 한다 [1].

왜 방정식이 아니라 작용에서 출발하는가

이유	내용
대칭의 부과	로런츠 불변성과 게이지 대칭을 $\lag$ 한 줄에 직접 요구할 수 있다
보존량	연속대칭이 곧바로 뇌터 흐름을 준다
양자화	경로적분의 가중치가 $e^{iS/\hbar}$ 이다
항의 열거	주어진 대칭과 차원에서 쓸 수 있는 항을 남김없이 셀 수 있다

"최소"가 아니다

이름과 달리 요구되는 것은 극소가 아니라 정류점이다. 실제로 자유입자의 긴 경로나 중력장 속 경로에서 작용은 안장점이 되기도 한다 [2]. 또한 작용 원리가 "자연이 목적을 향해 경로를 고른다"는 목적론적 주장으로 읽히기 쉬우나, 오일러-라그랑주 방정식은 각 점에서의 국소 미분방정식과 논리적으로 동치다. 전역적 서술과 국소적 서술이 같은 내용이라는 사실이 목적론적 해석을 불필요하게 만든다.

참고문헌

1. Carroll, S. M. (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley.
2. Goldstein, H., Poole, C., Safko, J. (2002). Classical Mechanics. Addison Wesley, 3판.