경로적분

정의

두 장 배위 사이의 전이진폭을 모든 중간 경로에 대한 합으로 쓴다.

실용적으로는 원천 $J$ 를 붙인 생성범함수를 쓴다.

상관함수는 $J$ 에 대한 범함수 미분으로 얻는다. $\langle 0 | T\phi(x)\phi(y) | 0\rangle = (-i)^2 \delta^2 \ln Z / \delta J(x)\delta J(y)$ 꼴이다 [1].

고전 극한

$\hbar \to 0$ 이면 위상 $S/\hbar$ 이 급격히 진동해 대부분의 경로가 서로 상쇄되고, 위상이 정류인 경로 $\delta S = 0$ 근방만 살아남는다. 즉 작용 원리는 공리가 아니라 정류위상근사의 결과다. 이것이 정준양자화 대신 경로적분을 택했을 때 얻는 개념적 이득이다 [2].

왜 장론에서 이 방법을 쓰는가

장점	내용
명시적 불변성	로런츠·게이지 대칭이 적분 전 과정에서 눈에 보인다
통계역학과의 대응	$t \to -i\tau$ 로 돌리면 $e^{-S_E}$ 가 되어 분배함수와 같은 꼴이 된다
비섭동 계산	인스탄톤과 격자 계산이 자연스럽게 정식화된다
척도 분리	고에너지 모드만 적분해 없애는 조작을 정의할 수 있다

두 번째 줄이 재규격화군이 입자물리와 상전이 이론에서 같은 언어로 쓰이는 이유다.

주의

게이지 이론에서는 게이지 변환으로 연결된 배위들이 모두 같은 물리 상태이므로 적분이 무한한 중복을 센다. 파데예프-포포프 절차로 게이지 궤도의 부피를 떼어내야 하고, 이때 고스트 장이 등장한다 [3]. 또 $\mathcal D\phi$ 는 수학적으로 잘 정의된 측도가 아니며, 유클리드 격자 위에서만 엄밀한 의미가 주어진다.

참고문헌

1. Srednicki, M. (2007). Quantum Field Theory. Cambridge University Press.
2. Zee, A. (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell. Princeton University Press, 2판.
3. Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.