재규격화군

정의

윌슨의 정식화에서 재규격화군은 경로적분에서 운동량이 $\Lambda' < |p| < \Lambda$ 인 모드를 적분해 없애고, 남은 이론의 결합상수를 다시 읽는 조작이다. 이 조작을 반복하면 결합상수 공간 위의 흐름이 생긴다. 역과정이 없으므로 엄밀히는 군이 아니라 반군이다.

캘런-시만지크 방정식

물리적 상관함수는 인위적으로 고른 규격화 척도 $\mu$ 에 의존할 수 없다는 요구가 방정식이 된다.

여기서 $\beta(g) = \mu\,\dd g/\dd\mu$ 이고 $\gamma$ 는 장의 비정상 차원이다. $\beta$ 함수의 해가 곧 결합상수 러닝이다.

흐름의 세 가지 행태

$\beta$ 의 부호	고에너지에서	예
$\beta < 0$	결합이 약해진다 (점근 자유)	QCD [1,2]
$\beta > 0$	결합이 세진다 (란다우 극)	QED, 힉스 자기결합
$\beta = 0$	고정점, 척도 불변	등각장론, 임계점

점근 자유는 비아벨 게이지 이론에서 게이지 보손의 자기상호작용이 기여 부호를 뒤집기 때문에 생긴다. 즉 리대수의 구조상수가 0 이 아니라는 사실의 직접적 귀결이다.

왜 개념적으로 중요한가

재규격화는 원래 무한대를 감추는 처방으로 여겨졌으나, 윌슨 이후에는 척도 분리의 서술로 이해된다. 고에너지에서 어떤 이론이 오든 저에너지에는 몇 개의 연관 연산자만 살아남고 나머지는 $E/\Lambda$ 의 거듭제곱으로 억제된다 [3]. 이 사실이 유효장이론의 근거이며, 동시에 저에너지 실험이 고에너지 이론을 유일하게 결정하지 못하는 이유이기도 하다 [4].

참고문헌

1. Gross, D. J. and Wilczek, F. (1973). Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories. Physical Review Letters 30, 1343–1346. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1343
2. Politzer, H. D. (1973). Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?. Physical Review Letters 30, 1346–1349. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346
3. Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields, Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press.
4. Schwartz, M. D. (2014). Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press.