클라인-고든 방정식

정의

실수 스칼라 장의 라그랑지안 밀도

에 작용 원리를 적용하면 오일러-라그랑주 방정식이 다음을 준다.

평면파 $\phi \sim e^{-ip\cdot x}$ 를 넣으면 $p^2 = m^2$, 곧 $E^2 = \vec p^{\,2} + m^2$ 이다. 방정식의 내용은 사실상 이 한 줄이다.

왜 단일입자 파동함수로는 실패하는가

문제	내용
음에너지 해	$E = \pm\sqrt{\vec p^{\,2}+m^2}$ 의 두 부호가 모두 해다
확률밀도	보존 흐름의 0성분 $j^0 \propto i(\phi^*\partial_t\phi - \text{c.c.})$ 가 음수가 될 수 있다
다입자	상대론적 에너지에서는 입자 개수가 보존되지 않는다

해결은 $\phi$ 를 파동함수가 아니라 생성·소멸 연산자를 담은 장으로 재해석하는 것이다. 그러면 음에너지 해는 반입자의 양에너지 상태가 되고, $j^0$ 은 확률이 아니라 전하밀도가 된다 [1].

전파인자와 힘의 도달거리

파인만 전파인자는 위 연산자의 역이다.

정적 극한에서 푸리에 변환하면 유카와 퍼텐셜 $V(r) \propto -e^{-mr}/r$ 이 나온다. 매개 입자의 질량이 곧 힘의 도달거리의 역수라는 것, 그래서 약한 상호작용이 짧은 거리에서만 작동한다는 사실이 여기서 나온다 [2].

확장

• $\partial_\mu \to D_\mu$ 로 바꾸면 하전 스칼라와 게이지 장의 상호작용이 된다. 공변 미분 참조.
• 퍼텐셜을 $-\mu^2|\phi|^2 + \lambda|\phi|^4$ 로 바꾸면 질량항의 부호가 뒤집혀 자발 대칭 깨짐과 힉스 기작으로 이어진다 [3].

실제로 어디에 쓰이는가

클라인-고든 장 자체에 해당하는 기본 입자는 힉스 보손 하나뿐이다. 그럼에도 이 방정식이 먼저 다뤄지는 이유는 두 가지다. 첫째, 스핀이 없어 지표가 붙지 않으므로 장론의 모든 절차를 가장 단순한 배경에서 연습할 수 있다. 둘째, 어떤 스핀의 장이든 각 성분은 결국 질량껍질 조건 $p^2 = m^2$ 를 만족하므로, 디랙 장이나 벡터 장의 전파인자도 이 방정식의 구조를 안에 품고 있다.

참고문헌

1. Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
2. Srednicki, M. (2007). Quantum Field Theory. Cambridge University Press.
3. Schwartz, M. D. (2014). Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press.