리대수

정의

리 군 $G$ 의 원소를 항등원 근방에서 $U = \exp(i\alpha^a T^a)$ 로 쓸 때, 생성자 $T^a$ 가 이루는 벡터공간에 교환자를 곱셈으로 준 것이 리대수 $\mathfrak g$ 다.

$f^{abc}$ 를 구조상수라 한다. 야코비 항등식 $[[T^a,T^b],T^c] + (\text{순환}) = 0$ 이 구조상수에 대한 제약이 된다.

규격화와 불변량

표현 $R$ 에 대해 지표 $T(R)$ 과 이차 카시미르 $C_2(R)$ 을 다음으로 정의한다.

수반표현에서는 $T(\text{adj}) = C_2(G)$ 이고 $(T^a_{\text{adj}})^{bc} = -if^{abc}$ 다. 이 두 수가 결합상수 러닝의 1-루프 계수를 직접 결정한다.

물리에 쓰이는 단순 리대수

리대수	군	차원	랭크	쓰이는 곳
$\mathfrak{su}(2)$	$SU(2)$	3	1	스핀, 약아이소스핀
$\mathfrak{su}(3)$	$SU(3)$	8	2	색 (QCD)
$\mathfrak{su}(5)$	$SU(5)$	24	4	최소 대통일
$\mathfrak{so}(10)$	$SO(10)$	45	5	한 세대를 16차원 표현 하나에

랭크는 서로 교환하는 생성자의 최대 개수이며, 진단 가능한 양자수의 개수와 같다. 표준모형 게이지군의 랭크가 4 이므로 이를 담는 단순군의 랭크는 4 이상이어야 한다. 이 조건이 통일 후보군을 좁히는 첫 필터다 [1].

게이지 이론과의 관계

게이지 대칭을 국소화하면 생성자 하나마다 게이지 장이 하나씩 생긴다. 게이지 보손의 개수는 리대수의 차원이다. 또한 구조상수가 0 이 아니면 게이지 장이 스스로와 상호작용하며, 이것이 야마-밀스 작용의 삼중·사중 꼭짓점의 기원이다 [2].

흔한 혼동

• 리 군과 리대수는 다르다. 리대수가 같아도 전역 구조가 다를 수 있다. $SU(2)$ 와 $SO(3)$ 는 리대수가 같지만 전자가 후자의 이중 덮개다. 이 차이가 자기홀극의 존재 여부 같은 위상적 질문에서 드러난다 [3].
• 물리에서 쓰는 에르미트 생성자 $T^a$ 와 수학에서 쓰는 반에르미트 규약은 $i$ 하나만큼 다르다. 구조상수의 정의에 $i$ 가 붙는지 확인하지 않으면 부호가 어긋난다.

참고문헌

1. Zee, A. (2016). Group Theory in a Nutshell for Physicists. Princeton University Press.
2. Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
3. Nakahara, M. (2003). Geometry, Topology and Physics. Institute of Physics Publishing, 2판.