결합상수 러닝과 수렴

검토 중내용은 공개하되 출처 확인이 아직 끝나지 않았습니다. 유도와 인용을 직접 확인하고 읽으세요.검토 상태란

수식 없는 요지

세 힘의 세기는 고정된 숫자가 아니다. 더 높은 에너지로 때릴수록, 즉 더 가까이서 들여다볼수록 값이 달라진다. 강한 힘은 에너지가 올라가면 약해지고 전자기력은 반대로 세지는데, 이 변화율은 이론에서 계산되고 가속기에서 확인되었다. 그래서 오늘 측정한 세 값을 출발점 삼아 훨씬 높은 에너지 쪽으로 밀어 올릴 수 있고, 그렇게 하면 세 값이 대략 10의 16제곱 기가전자볼트 부근에서 서로 가까워진다. 통일이라는 막연한 기대가 이 계산을 거치면서 처음으로 숫자가 붙은 주장이 된다.

동기 · 결합상수를 상수로 보았을 때 물을 수 없던 것

표준모형의 세 결합상수는 서로 크게 다르다. $M_Z = 91.2\,\mathrm{GeV}$ 에서 강한 상호작용은 전자기 상호작용보다 한 자릿수 이상 세다. 세 힘이 본래 하나였다는 주장은 이 사실 앞에서 그냥 희망 사항이다. 세기가 다른 것을 어떻게 하나라고 부르는가.

되묻는 방법은 하나뿐이다. 세기가 에너지에 따라 변한다면, 서로 다른 세 값이 사실은 같은 값을 서로 다른 에너지에서 읽은 것일 수 있다. 결합상수 러닝은 이 가능성을 계산 가능한 문제로 바꾼다. 점근 자유성의 발견 [1,2] 이후 러닝은 추측이 아니라 측정 대상이 되었고, 조지·퀸·와인버그가 1974년에 한 일은 이 측정을 위로 연장한 것이다 [3].

이 단원의 목표는 하나다. 세 결합상수를 외삽해 수렴 에너지를 추정하는 것. 이 숫자가 다음 단원의 SU(5) 모형이 예측하는 양성자 수명을 결정한다.

핵심 수식

$\alpha_i = g_i^2/4\pi$ 로 두면 1-루프 되틀맞춤군 방정식은 역수에서 선형이다.

\mu\,\frac{\dd\,\alpha_i^{-1}}{\dd\mu} = -\frac{b_i}{2\pi} \tag{1}

적분하면 $\ln\mu$ 의 직선이 된다.

\alpha_i^{-1}(\mu) = \alpha_i^{-1}(M_Z) - \frac{b_i}{2\pi}\,\ln\frac{\mu}{M_Z} \tag{2}

계수 $b_i$ 는 그 게이지 군 아래에서 돌아다니는 장의 목록만으로 정해진다.

b_i = -\frac{11}{3}\,C_2(G_i) + \frac{2}{3}\sum_{\text{바일 페르미온}} S_i(R) + \frac{1}{3}\sum_{\text{복소 스칼라}} S_i(R) \tag{3}

$C_2(G)$ 는 수반 표현의 카시미어이고 $S_i(R)$ 는 표현 $R$ 의 디인덱스로 $\tr(T^aT^b) = S\,\delta^{ab}$ 로 정의한다. 기본 표현은 $S = 1/2$ 다. $U(1)$ 에는 게이지 보손 자체 기여가 없으므로 첫 항이 사라지고, 대통일 규격화를 쓰면 $S_1(R) = \tfrac35 Y^2$ 이다.

유도 · 계수를 손으로 세기

(3) 의 세 항은 각각 게이지 보손 고리, 페르미온 고리, 스칼라 고리다. 부호가 다른 이유가 중요하다. 페르미온과 스칼라 고리는 전하를 유전체처럼 가리는 쪽으로 작동해 $\alpha$ 를 에너지와 함께 키우고, 비가환 게이지 보손 고리는 자기 자신이 전하를 띠어 반대로 작동한다. 이 반가림이 이기면 점근 자유성이 나온다.

$SU(2)_L$ 부터 세자. $C_2 = 2$ 이므로 첫 항은 $-22/3$ 이다. 한 세대에 이중항은 색이 셋인 쿼크 이중항 $Q_L$ 셋과 렙톤 이중항 $L_L$ 하나로 넷, 세 세대면 열둘이고 $\sum S_2 = 12 \times \tfrac12 = 6$ 이다. 힉스 이중항 하나가 $S_2 = \tfrac12$ 를 더한다.

b_2 = -\frac{22}{3} + \frac{2}{3}(6) + \frac{1}{3}\left(\frac12\right) = \frac{-44 + 24 + 1}{6} = -\frac{19}{6} \tag{4}

$SU(3)_C$ 는 $C_2 = 3$ 이라 첫 항이 $-11$ 이다. 한 세대의 색 삼중항 바일 장은 $u_L,\,d_L,\,u^c,\,d^c$ 로 넷, 세 세대면 열둘, $\sum S_3 = 6$ 이다. 스칼라는 색을 띠지 않는다. 따라서 $b_3 = -11 + 4 = -7$ 이다.

$U(1)_Y$ 는 $Q = T^3 + Y$ 규약으로 초전하 제곱을 더한다. 한 세대에서 $Q_L$ 이 $6 \times (1/6)^2$ , $u^c$ 가 $3\times(2/3)^2$ , $d^c$ 가 $3\times(1/3)^2$ , $L_L$ 이 $2\times(1/2)^2$ , $e^c$ 가 $1$ 이고 합은 $10/3$ 이다. 세 세대면 $10$ , 힉스는 $2\times(1/2)^2 = 1/2$ 다.

b_1 = \frac35\left[\frac23(10) + \frac13\left(\frac12\right)\right] = \frac35 \cdot \frac{41}{6} = \frac{41}{10} \tag{5}

세 계수를 모으면 $(b_1,b_2,b_3) = (\tfrac{41}{10},\,-\tfrac{19}{6},\,-7)$ 이다 [4]. 앞의 $\tfrac35$ 는 다음 단원에서 유도할 대통일 규격화 인자이고, 이것을 빼먹으면 세 직선은 애초에 만날 이유가 없다.

예제 1 · 두 직선이 만나는 척도

(2) 에서 $\alpha_i^{-1} = \alpha_j^{-1}$ 인 지점은 곧바로 나온다.

\ln\frac{\mu_{ij}}{M_Z} = \frac{2\pi\left[\alpha_i^{-1}(M_Z) - \alpha_j^{-1}(M_Z)\right]}{b_i - b_j} \tag{6}

측정값은 $\alpha^{-1}_{\text{em}}(M_Z) = 127.9$ , $\sin^2\theta_W(M_Z) = 0.2312$ , $\alpha_3(M_Z) = 0.118$ 이다. 이로부터 $\alpha_2^{-1} = \alpha_{\text{em}}^{-1}\sin^2\theta_W = 29.6$ , $\alpha_1^{-1} = \tfrac35\,\alpha_{\text{em}}^{-1}\cos^2\theta_W = 59.0$ , $\alpha_3^{-1} = 8.5$ 를 얻는다.

(6) 에 넣으면 세 교차점이 나온다.

짝	$b_i - b_j$	$\ln(\mu/M_Z)$	$\mu$
1-2	$109/15 = 7.27$	25.4	$1.0\times10^{13}$ GeV
1-3	$11.1$	28.6	$2.4\times10^{14}$ GeV
2-3	$23/6 = 3.83$	34.6	$9.6\times10^{16}$ GeV

세 직선은 거의 모이지만 한 점을 지나지 않는다. 교차점이 네 자릿수에 걸쳐 흩어져 있다. 1-루프 계산의 불확정도와 문턱 보정을 감안해도 이 간격은 메워지지 않는다.

예제 2 · 초대칭 입자를 넣었을 때

최소 초대칭 확장에서는 게이지 보손마다 게이지노가, 페르미온마다 스칼라가, 힉스 이중항이 둘로 늘어 계수가 $(b_1,b_2,b_3) = (\tfrac{33}{5},\,1,\,-3)$ 로 바뀐다. 같은 (6) 에 같은 저에너지 입력을 넣으면

\mu_{12} = 1.9\times10^{16}\,\mathrm{GeV}, \qquad \mu_{13} = 2.2\times10^{16}\,\mathrm{GeV}, \qquad \mu_{23} = 2.3\times10^{16}\,\mathrm{GeV} \tag{7}

로 세 값이 20퍼센트 안에 들어온다. 이것이 1991년 이후 초대칭 대통일이 표준 시나리오로 취급된 수치적 근거다 [5].

다만 이 일치를 증거로 읽을 때는 조건을 같이 읽어야 한다. 위 계산은 모든 초대칭 짝의 질량을 $M_Z$ 에 둔 것이고, 실제로는 TeV 규모의 문턱 보정이 결과를 움직인다. 초대칭 입자가 발견되지 않은 지금, 이 수렴은 "정밀한 예측이 맞았다"가 아니라 "한 매개변수를 조정하면 맞출 수 있다"에 가깝다.

연습문제

문제 1계산형

(3) 을 써서 세 세대와 힉스 이중항 두 개를 가진 이론의 $b_2$ 를 구하시오. 힉스가 하나일 때와 비교해 $\mu_{12}$ 가 어느 쪽으로 움직이는지 말하시오.

해설

힉스 이중항 하나가 $\tfrac13 \times \tfrac12 = \tfrac16$ 를 더하므로 $b_2 = -\tfrac{19}{6} + \tfrac16 = -3$ 이다. $b_1$ 도 $\tfrac35 \cdot \tfrac13 \cdot \tfrac12 = \tfrac{1}{10}$ 만큼 늘어 $\tfrac{42}{10}$ 이 된다. 따라서 $b_1 - b_2 = 4.2 + 3 = 7.2$ 로 줄고, (6) 의 분모가 작아지므로 $\mu_{12}$ 는 위로 밀린다. 계산하면 $\ln(\mu/M_Z) = 184.7/7.2 = 25.7$ 로 $1.3\times10^{13}$ GeV 다.

흔한 오류는 스칼라 기여에 페르미온과 같은 $\tfrac23$ 을 쓰는 것이다. 복소 스칼라의 고리는 자유도가 바일 페르미온의 절반이라 $\tfrac13$ 이다. 두 계수를 혼동하기 쉬운 이유는 교과서가 흔히 디랙 페르미온 기준의 $\tfrac43$ 을 함께 쓰기 때문이다. 바일인지 디랙인지, 실수 스칼라인지 복소 스칼라인지를 먼저 고정하고 세야 한다.

문제 2계산형

$\alpha_{\text{em}}^{-1} = 137$ 을 (6) 에 넣으면 $\mu_{12}$ 가 얼마나 달라지는가. 그리고 왜 이 값을 쓰면 안 되는지 설명하시오.

해설

$137$ 을 쓰면 $\alpha_2^{-1} = 31.7$ , $\alpha_1^{-1} = 63.2$ 가 되어 차이가 $31.5$ 로 커지고, $\ln(\mu/M_Z) = 2\pi(31.5)/7.27 = 27.2$ 에서 $\mu_{12} = 4.1\times10^{13}$ GeV 다. 네 배 차이다.

$1/137$ 은 $\mu \to 0$ 극한, 즉 톰슨 산란 극한의 값이다. (2) 은 같은 척도에서 읽은 세 값을 요구하므로 $M_Z$ 에서의 $1/127.9$ 를 써야 한다. 흔한 오류가 여기서 나오는 까닭은 미세구조상수를 자연의 고정된 숫자로 외우기 때문이다. 러닝을 배우는 단원에서마저 이 습관이 남는다는 점이 이 문제의 요지다. 참고로 두 값의 차이 자체가 $M_Z$ 까지의 러닝을 실험적으로 확인해 준다.

문제 3개념 진술형

"세 직선이 한 점에서 만나지 않으므로 대통일은 반증되었다"는 문장의 문제를 300자 이내로 지적하시오.

해설

두 가지가 빠졌다. 첫째, (2) 은 1-루프 근사이고 통일 척도까지 스물다섯 자릿수를 외삽한다. 2-루프 항과 통일 척도 근처의 무거운 입자 문턱 보정은 교차점을 퍼센트 수준이 아니라 자릿수 수준으로 움직일 수 있다. 둘째, 대통일은 하나의 모형이 아니라 모형군이다. 중간 척도에 새 대칭이 깨지는 단계가 하나 있으면 직선이 꺾이고 세 값은 만난다. 부정된 것은 "표준모형 입자 내용만으로 최소 SU(5)가 한 점에서 통일된다"는 특정 진술이다.

흔한 오류는 그래프의 시각적 인상을 반증으로 읽는 것이다. 그럴듯한 이유는 이 그림이 통일의 홍보물로 쓰여 왔기 때문이다. 실제로 최소 SU(5)를 배제한 것은 결합상수 그림이 아니라 다음 단원에서 볼 양성자 붕괴 탐색이다.

더 읽기

베타 함수 계수의 일반식 유도는 [4] 16장에 있다. (3) 을 배경장 방법으로 얻는 과정이 나온다.
외삽이라는 발상을 처음 실행한 논문이 [3]다. 당시에는 $\alpha_3$ 의 오차가 커서 세 직선이 만난다고 말할 수 있었다.
규격화 인자 $\sqrt{5/3}$ 의 유래와 군론적 의미는 [5] IX장에 정리되어 있다.

참고문헌

Gross, D. J. and Wilczek, F. (1973). Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories. Physical Review Letters 30, 1343–1346. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1343
Politzer, H. D. (1973). Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?. Physical Review Letters 30, 1346–1349. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346
Georgi, H., Quinn, H. R., Weinberg, S. (1974). Hierarchy of Interactions in Unified Gauge Theories. Physical Review Letters 33, 451–454. doi:10.1103/PhysRevLett.33.451
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
Zee, A. (2016). Group Theory in a Nutshell for Physicists. Princeton University Press.

초고 AI 보조이 글은 초고 작성에 AI 보조를 썼습니다. 수식 유도와 인용은 사람이 확인해야 검토 완료로 올라갑니다.사용 범위

A4-1결합상수 러닝과 수렴