전기약 통일 (GWS)

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수식 없는 요지

전자기력과 약한 힘은 겉보기에 전혀 다르다. 하나는 무한히 멀리 가고 다른 하나는 원자핵 안에서만 작동한다. 그런데 두 힘을 한 대칭에서 함께 꺼내면 이 차이가 매개 입자의 질량 차이로 환원된다. 앞 단원의 기작을 적용하면 네 개의 매개 입자 중 셋은 무거워지고 하나는 정확히 무질량으로 남는데, 그 하나가 광자다. 남는 조합이 무엇인지는 두 결합상수의 비가 정하며, 이 비를 각도로 적은 것이 혼합각이다. 통일이 무엇을 설명하고 무엇을 설명하지 않는지가 이 단원에서 분명해진다.

동기 · 왜 두 힘을 묶는가

페르미의 사점 상호작용은 낮은 에너지에서 잘 맞지만 고에너지에서 산란 진폭이 발산한다. 결합상수 $G_F$ 가 질량 차원 $-2$ 를 가지므로 재규격화할 수 없기 때문이다. 이 발산을 무거운 매개 보손으로 무마하려면 그 보손이 게이지 보손이어야 하고, 게이지 보손이 무거우려면 힉스 기작이 필요하다.

또 다른 이유는 전하 구조다. 약한 상호작용은 왼손 성분만 건드리고 전자기력은 손지기를 가리지 않는다. 손지기를 구별하는 힘과 구별하지 않는 힘을 한 군에 넣으려면, 전자기 U(1) 을 그대로 쓰는 것이 아니라 더 큰 군의 부분군으로 다시 만들어야 한다. 글래쇼가 1961년에 $SU(2)_L \times U(1)_Y$ 라는 구조를 제안했고 [1], 여기에 힉스 기작을 결합해 완성한 것이 와인버그와 살람이다 [2,3].

핵심 수식

게이지군은 $SU(2)_L \times U(1)_Y$ 이고 게이지 장은 $W^1_\mu, W^2_\mu, W^3_\mu$ 와 $B_\mu$ 네 개다. 힉스 이중항 $\Phi$ 는 초전하 $Y = 1$ 을 갖는다.

D_\mu\Phi = \left(\partial_\mu - ig\,W^a_\mu T^a - i\frac{g'}{2}\,Y B_\mu\right)\Phi , \qquad T^a = \frac{\sigma^a}{2} \tag{1}

진공 기댓값과 남는 대칭은 앞 단원의 셈 그대로다.

\langle\Phi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix} , \qquad Q = T^3 + \frac{Y}{2} , \qquad Q\,\langle\Phi\rangle = 0 \tag{2}

게이지 보손 질량항은 다음 꼴로 정리된다.

\left|D_\mu\langle\Phi\rangle\right|^2 = \frac{v^2}{8}\left[g^2\left(W^1_\mu W^{1\mu} + W^2_\mu W^{2\mu}\right) + \left(g\,W^3_\mu - g'\,B_\mu\right)^2\right] \tag{3}

대각화 결과가 이 단원의 결론이다.

m_W = \frac{g v}{2} , \qquad m_Z = \frac{\sqrt{g^2+g'^2}\,v}{2} , \qquad m_\gamma = 0 , \qquad \tan\theta_W = \frac{g'}{g} \tag{4}

유도 · 생략 없이

(1) 를 진공에 작용시킨다. $Y = 1$ 이므로 괄호 안은

-\frac{i}{2}\begin{pmatrix} g W^3 + g' B & g\left(W^1 - iW^2\right) \\ g\left(W^1 + iW^2\right) & -g W^3 + g' B \end{pmatrix} \tag{5}

이고, 이것을 $\tfrac{1}{\sqrt2}(0, v)^{\mathsf T}$ 에 곱하면 둘째 열만 살아남는다. 결과 벡터의 노름 제곱을 취하면 (3) 이 나온다. 여기서 $W^3$ 과 $B$ 가 항상 $gW^3 - g'B$ 라는 한 조합으로만 들어온다는 사실이 전부를 결정한다.

$W^1, W^2$ 는 서로 같은 계수를 가지므로 전하 고유 상태로 묶는다.

W^{\pm}_\mu = \frac{1}{\sqrt2}\left(W^1_\mu \mp i W^2_\mu\right) , \qquad \frac{v^2}{8}g^2\left[(W^1)^2 + (W^2)^2\right] = \frac{g^2v^2}{4}\,W^+_\mu W^{-\mu} \tag{6}

복소 벡터장의 질량항 규약이 $m^2 W^+W^-$ 이므로 $m_W = gv/2$ 다.

중성 부분은 $2\times2$ 문제다. $\left(W^3, B\right)$ 기저에서 질량 행렬은

M^2 = \frac{v^2}{4}\begin{pmatrix} g^2 & -g g' \\ -g g' & g'^2 \end{pmatrix} \tag{7}

이다. 이 행렬은 행렬식이 0이다. 두 행이 비례하기 때문이다. 따라서 고유값 하나는 반드시 0이고, 나머지 하나는 대각합과 같아 $\tfrac{v^2}{4}(g^2 + g'^2)$ 다. 무질량 보손이 하나 남는다는 것이 계산에서 저절로 나온다. 앞 단원의 셈, 즉 깨진 생성자가 4개 중 3개라는 사실의 행렬판이다.

고유벡터를 읽는다. 혼합각 $\theta_W$ 를 $\tan\theta_W = g'/g$ 로 정의하면

A_\mu = \sin\theta_W\,W^3_\mu + \cos\theta_W\,B_\mu , \qquad Z_\mu = \cos\theta_W\,W^3_\mu - \sin\theta_W\,B_\mu \tag{8}

이고, $A_\mu$ 가 영고유값, $Z_\mu$ 가 $m_Z = \tfrac{v}{2}\sqrt{g^2+g'^2}$ 에 대응한다. 확인하려면 (3) 의 괄호 안 $gW^3 - g'B$ 를 (8) 으로 바꿔 쓰면 된다. $\sqrt{g^2+g'^2}\,Z_\mu$ 가 되고 $A_\mu$ 는 아예 나타나지 않는다.

남은 것은 결합이다. 전자기 결합은 $Q = T^3 + Y/2$ 에 붙어야 하므로, (1) 에서 $W^3$ 과 $B$ 를 (8) 으로 치환한 뒤 $A_\mu$ 의 계수를 모으면

e = g\sin\theta_W = g'\cos\theta_W , \qquad \frac{1}{e^2} = \frac{1}{g^2} + \frac{1}{g'^2} \tag{9}

를 얻는다. 여기에 통일의 성격이 드러난다. 전하 $e$ 는 이제 독립 매개변수가 아니라 $g, g'$ 에서 유도된다. 그러나 $g$ 와 $g'$ 사이의 관계는 여전히 없으므로 $\theta_W$ 자체는 예측되지 않고 측정해야 한다. 곱군은 진정한 단일 군이 아니다. $\sin^2\theta_W$ 를 예측하려면 다음 모듈의 단순군 매장이 필요하다.

마지막으로 트리 준위 예측 하나가 남는다. (4) 에서

\rho \equiv \frac{m_W^2}{m_Z^2\cos^2\theta_W} = 1 \tag{10}

이다. 이 값은 힉스가 이중항이라는 가정에서만 나오며, 삼중항을 썼다면 달라진다. 실측이 $\rho \approx 1$ 이라는 사실이 힉스 표현을 결정한 근거다 [4].

예제 1 · 중성류 결합

(8) 을 페르미온의 공변 미분에 넣고 $Z_\mu$ 의 계수를 모으면

\lag \supset \frac{g}{\cos\theta_W}\,Z_\mu\,\bar f\gamma^\mu\left(T^3 - Q\sin^2\theta_W\right)f \tag{11}

가 된다. $T^3$ 은 왼손 성분에만 있고 $Q$ 는 양쪽에 있으므로 Z 결합은 손지기에 따라 다르다. 이것이 1973년에 발견된 중성류의 정체이며, 전기약 이론이 처음으로 새 현상을 예측해 맞힌 사례다. 광자에는 $T^3$ 항이 없어 손지기에 무관하다는 대비도 같은 식에서 읽힌다.

예제 2 · 진공 기댓값의 수치

낮은 에너지에서 $W$ 를 적분해 내면 페르미 이론이 복원된다. 사점 결합의 세기를 맞추면

\frac{G_F}{\sqrt2} = \frac{g^2}{8m_W^2} = \frac{1}{2v^2} \;\Longrightarrow\; v = \left(\sqrt2\,G_F\right)^{-1/2} \approx 246\ \text{GeV} \tag{12}

이다. $G_F$ 는 뮤온 수명에서 정밀하게 측정되므로 $v$ 는 W 보손을 보기 훨씬 전부터 알려져 있었다. 여기에 $\sin^2\theta_W \approx 0.231$ 과 $e$ 를 넣으면 $m_W \approx 80$ GeV, $m_Z \approx 91$ GeV 가 나오고, 1983년 실험이 이 값을 확인했다. 예측이 먼저 있었고 발견이 뒤따랐다는 순서가 이 이론의 지위를 정했다.

연습문제

문제 1계산형

(7) 의 고유값이 $0$ 과 $\tfrac{v^2}{4}(g^2+g'^2)$ 임을 직접 보이고, 영고유벡터가 (8) 의 $A_\mu$ 임을 확인하시오.

해설

$\det M^2 = \tfrac{v^4}{16}\left(g^2g'^2 - g^2g'^2\right) = 0$ 이므로 고유값 하나가 0이다. 대각합은 $\tfrac{v^2}{4}(g^2+g'^2)$ 이고 두 고유값의 합과 같으므로 나머지가 결정된다. 영고유벡터는 $M^2 x = 0$ 에서 $g^2 x_1 - gg' x_2 = 0$ , 즉 $x \propto (g', g)$ 다. 규격화하면 $(\sin\theta_W, \cos\theta_W)$ 이고 이것이 $A_\mu$ 의 계수다.

흔한 오류는 $W^3$ 과 $B$ 의 혼합을 "광자가 $W^3$ 과 $B$ 의 평균"으로 외우는 것이다. 그럴듯한 이유는 $g \approx g'$ 근처의 그림을 자주 보기 때문이다. 그러나 실제로는 $g'/g \approx 0.55$ 이고 $\sin^2\theta_W \approx 0.23$ 이므로 광자는 $B$ 쪽에 더 많이 치우쳐 있다. 각도가 $45^\circ$ 가 아니라는 사실이 곧 통일이 완결되지 않았다는 신호다.

문제 2유도형

(9) 의 둘째 표현 $1/e^2 = 1/g^2 + 1/g'^2$ 를 유도하고, 이 식이 왜 "전자기 결합이 두 결합 중 더 약한 쪽보다도 약하다"를 뜻하는지 설명하시오.

해설

$e = g\sin\theta_W$ 에서 $\sin^2\theta_W = e^2/g^2$ 이고, $e = g'\cos\theta_W$ 에서 $\cos^2\theta_W = e^2/g'^2$ 다. 두 값을 더하면 1이므로 $e^2/g^2 + e^2/g'^2 = 1$ 이고, 양변을 $e^2$ 으로 나누면 $1/e^2 = 1/g^2 + 1/g'^2$ 가 된다. 저항의 병렬 연결과 같은 꼴이다. 병렬 합성값이 가장 작은 성분보다 작듯이, $e^2$ 은 $g^2$ 과 $g'^2$ 중 작은 쪽보다도 작다.

흔한 오류는 통일을 "여러 힘이 합쳐져 더 강해진다"로 상상하는 것이다. 그럴듯한 이유는 일상적으로 합침이 증가를 뜻하기 때문이다. 그러나 여기서 합쳐지는 것은 세기가 아니라 대칭 구조이며, 전자기 결합은 두 모군 결합의 조화평균 꼴로 오히려 작아진다.

문제 3계산형

힉스가 이중항이 아니라 초전하 $Y = 2$ 인 복소 삼중항 하나였다면 $\rho$ 가 얼마가 되는지 구하시오. 일반 공식은 $\rho = \sum_i\left[T_i(T_i+1) - (T^3_i)^2\right]v_i^2 \big/ \left(2\sum_i (T^3_i)^2 v_i^2\right)$ 이다.

해설

전기적으로 중성인 성분이 진공 기댓값을 가져야 하므로 $Q = T^3 + Y/2 = 0$ , 즉 $T^3 = -1$ 인 성분이다. 분자는 $T(T+1) - (T^3)^2 = 1\cdot 2 - 1 = 1$ 이고 분모는 $2\cdot 1 = 2$ 이므로 $\rho = 1/2$ 다. 이중항의 $T = 1/2,\ T^3 = -1/2$ 를 넣으면 분자와 분모가 모두 $1/2$ 이 되어 (10) 의 $\rho = 1$ 이 재현된다. 실측값이 1에 매우 가까우므로 삼중항이 지배적인 시나리오는 배제된다.

흔한 오류는 $\rho = 1$ 을 이론의 정리로 착각해 어떤 힉스 표현에서도 성립한다고 보는 것이다. 그럴듯한 이유는 표준모형 교과서가 $\rho = 1$ 을 거의 항상 참으로 다루기 때문이다. 그러나 이것은 표현 선택의 결과이며, 일반적으로 $\rho$ 는 각 스칼라 다중항의 약아이소스핀과 초전하로 주어지는 합으로 정해진다. $\rho$ 측정은 그래서 힉스 부문의 구조를 제약하는 실험이다.

더 읽기

군 구조를 먼저 제안한 것은 [1]이고, 힉스 기작을 붙여 질량을 준 것이 [2]과 [3]이다. 와인버그의 논문은 두 쪽이 조금 넘는다.
전기약 이론의 조립과 파인만 규칙은 [4] 20장에 정리되어 있다.
정밀 전기약 검증과 $\rho$ 매개변수의 고리 보정은 [5] 31장을 보라.

참고문헌

Glashow, S. L. (1961). Partial-symmetries of weak interactions. Nuclear Physics 22, 579–588. doi:10.1016/0029-5582(61)90469-2
Weinberg, S. (1967). A Model of Leptons. Physical Review Letters 19, 1264–1266. doi:10.1103/PhysRevLett.19.1264
Salam, A. (1968). Weak and Electromagnetic Interactions. Conf. Proc. C680519, 367–377.
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
Schwartz, M. D. (2014). Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press.

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A3-5전기약 통일 (GWS)