A5-7역사적 통일 시도

수식 없는 요지

통일 이론의 역사에서 가장 유익한 부분은 성공이 아니라 실패다. 20세기 전반에 세 개의 큰 시도가 있었고 셋 다 실패했는데, 실패한 이유가 서로 달랐고 그 이유들이 지금도 그대로 반복된다. 바일은 거의 맞는 생각을 한 곳에서 틀렸고, 그 한 곳을 고치자 현대 게이지 이론이 되었다. 아인슈타인은 수를 맞추는 데는 성공했지만 그 여분의 수가 물리적 내용이 없는 것이었다. 칼루차는 형식을 얻었지만 값을 얻지 못했다. 이 단원은 셋을 하나씩 부검하고, 새로운 통일 제안을 만났을 때 무엇을 먼저 물어야 하는지를 목록으로 남긴다.

동기 · 왜 실패 목록이 선수 과목인가

이 단원은 통합 트랙의 선수 단원이다. 통일이라는 말은 형이상학적 매력이 커서, 기술적으로 무엇이 요구되는지를 모르면 곧바로 사변으로 미끄러진다. 두 이론을 한 기호 아래 나란히 적는 일은 언제나 가능하다. 그것이 통일이 아님을 아는 유일한 방법은 그렇게 해서 실패한 사례들을 식의 수준에서 아는 것이다.

여기서 다루는 시도들은 모두 일류 물리학자가 수십 년을 쏟은 것이고 모두 실패했다. 실패의 지점은 매번 형이상학이 아니라 특정 계산이었다 [1,2].

핵심 수식

바일의 1918년 착상은 길이의 평행이동 법칙을 바꾸는 것이었다.

닫힌 고리를 돌면 길이가 원래로 돌아오지 않는다.

1929년의 수정은 실수 축척 인자를 위상 인자로 바꾼 것이다 [3].

아인슈타인의 원격평행성은 계량 대신 사분체장을 기본량으로 삼는다.

유도 · 세 번의 부검

바일 1918 · 틀린 것은 오직 $i$ 하나였다

(1) 은 아름다운 일반화다. 일반상대론이 벡터의 방향을 평행이동시킬 때 경로 의존성을 허용했으니, 길이에도 같은 자유를 주자는 것이다. 그러면 (2) 의 $f_{\mu\nu}$ 가 새로운 곡률로 나오고, 이것이 전자기장 텐서와 형태가 같다. 게다가 $A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu\lambda$ 아래 $f_{\mu\nu}$ 가 불변이다. 장세기와 게이지 불변성이 동시에 나온다.

아인슈타인의 반박은 논문에 부록으로 붙어 발표되었고, 형이상학이 아니라 관측이었다. (2) 이 0이 아니면 시계의 고유 진동수가 지나온 경로에 의존한다. 자기장 영역을 통과한 원자와 그렇지 않은 원자는 이후 다른 진동수의 빛을 낸다. 실제로는 우주 반대편에서 온 수소 원자의 스펙트럼선이 실험실의 수소와 $10^{-9}$ 수준 이상으로 일치한다. (1) 의 비적분성은 관측과 정면으로 충돌한다.

주목할 점은 실패의 정확한 위치다. 게이지 원리도 곡률 동일시도 $f_{\mu\nu}$ 도 모두 옳았다. 틀린 것은 전송 인자가 실수 $\exp\!\left(\int A\cdot \dd x\right)$ 라 측정 가능한 크기를 바꾼다는 점뿐이었다. 1929년에 바일은 그 자리에 $i$ 를 넣었다 [3]. (3) 의 인자는 절댓값이 1이므로 길이도 확률도 바꾸지 않고, 오직 공변 미분에만 나타난다. 같은 $f_{\mu\nu}$ 가 이제 $F_{\mu\nu}$ 가 된다.

이 수정이 1918년에 불가능했던 이유도 분명하다. 위상은 복소 파동함수가 있어야 물리적으로 의미가 있고, 복소 파동함수는 1926년에야 나왔다. 여기서 뽑아야 할 교훈은 이것이다. 게이지 군은 시공간의 계량이 아니라 물질장의 내부 공간에 작용한다. 바일이 잃은 것은 착상이 아니라 그 착상이 작용할 대상이었다.

아인슈타인 1928-1931 · 여분의 6개는 게이지였다

(4) 의 사분체장 $h^a{}_\mu$ 는 성분이 16개다. 계량은 그중 10개만 쓴다. 아인슈타인은 남는 6개를 전자기장으로 삼으려 했다. 원격평행성이라는 이름은 모든 점에서 사분체가 지정되어 있으므로 떨어진 두 점의 벡터를 곧바로 비교할 수 있다는 뜻이다. 곡률은 0이고 대신 (4) 의 비틀림 $T^a{}_{\mu\nu}$ 가 중력을 나른다.

실패의 지점은 자유도 세기에 있다. $g_{\mu\nu}$ 를 고정한 채 $h^a{}_\mu \to \Lambda^a{}_b(x)\,h^b{}_\mu$ 로 국소 로런츠 변환을 하면 계량은 그대로다. 로런츠 군의 차원이 정확히 6이다.

즉 여분의 6개는 새 물리량이 아니라 국소 로런츠 게이지 자유도다. 이것을 전자기장으로 쓰려면 국소 로런츠 불변성을 깨야 하고, 그러면 관측 증거가 없는 우선 기준틀이 생긴다.

기술적 실패는 이것만이 아니었다. 아인슈타인이 제안한 장 방정식들은 로런츠 힘 $f^\mu = q F^{\mu\nu}u_\nu$ 를 내놓지 못했고, 정적 구면 대칭 해에서 쿨롱장에 해당하는 것도, 전하에 해당하는 보존량도 나오지 않았다. 그는 1929년부터 1931년까지 방정식을 여러 번 바꾸었고 매번 같은 벽에 부딪혔다 [1].

결정적인 확인은 나중에 왔다. 비틀림 스칼라로 만든 적절한 라그랑지안을 쓰면 원격평행 중력은 일반상대론과 정확히 동등하다. 전자기학은 어디에도 없다. 여분의 구조는 비어 있었다.

아인슈타인 1945-1955 · 반대칭 부분은 맥스웰이 아니었다

말년의 시도는 계량의 대칭성을 포기하는 것이었다. $g_{\mu\nu} = s_{\mu\nu} + a_{\mu\nu}$ 로 쓰고 반대칭 부분 $a_{\mu\nu}$ 를 $F_{\mu\nu}$ 와 동일시한다. 성분 수는 다시 $10+6=16$ 으로 맞는다.

여기서도 수 맞추기는 성공하고 동역학이 실패한다. 선형 근사에서 $a_{\mu\nu}$ 가 따르는 방정식은 맥스웰 방정식이 아니다. 맥스웰 이론에서 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ 는 퍼텐셜에서 나온 완전 미분형식이므로 비앙키 항등식 $\partial_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0$ 을 자동으로 만족한다. 반면 $a_{\mu\nu}$ 는 독립적인 6성분 장이라 그런 구속이 없고, 결과적으로 여분의 편극 모드가 살아남는다. 원천 항을 넣을 자리도, 전하 보존을 항등식으로 얻는 경로도 없었다.

칼루차-클라인 · 형식은 나왔지만 값이 나오지 않았다

앞 단원에서 계산한 그대로다. 실패 지점을 세 개로 특정할 수 있다 [4,5].

첫째, 라디온을 상수로 두는 절단이 일관되지 않다. 상수해는 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=0$ 을 강제하므로, 전자기장이 있으면 반드시 무질량 스칼라가 함께 존재해야 하고 그것은 관측되지 않은 제5의 힘을 낳는다.

둘째, 전하와 질량의 비가 고정된다. 칼루차-클라인 모드는 $m/|q| = (16\pi G)^{-1/2}$ 를 만족하므로 전하를 띤 상태는 질량이 플랑크 규모여야 한다. 전자는 이 관계를 스물한 자릿수 어긴다. 전자기학의 형식은 얻었지만 그 전자기학에 결합하는 실제 입자는 얻지 못했다.

셋째, 원 위의 축소는 카이랄 페르미온을 주지 않는다. 4차원 스펙트럼이 벡터형이므로 약한 상호작용의 왼손 선택성을 재현할 수 없다.

예제 · 실패를 판정 기준으로 바꾸기

성공한 통일과 대조하면 기준이 보인다. 맥스웰은 전기와 자기를 합치면서 $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ 라는 이미 측정된 수를 다시 내놓았고 빛이 전자기파라는 새 명제를 냈다. 전약 통일은 중성류라는 새 과정을 예측했고 $M_W$ 와 $M_Z$ 의 값을 와인버그 각 하나로 묶었다. 두 경우 모두 독립 매개변수의 개수가 줄었고 반증 가능한 새 예측이 나왔다 [6].

시도	수 맞추기	새 예측	막힌 지점
바일 1918	성공	있음	길이의 경로 의존성이 스펙트럼선과 충돌
원격평행성	성공	없음	여분 6성분이 국소 로런츠 게이지
비대칭 계량	성공	없음	반대칭 부분이 맥스웰 동역학을 주지 않음
칼루차-클라인	성공	있음	전하-질량비 고정, 라디온, 카이랄성

정리하면 판정 질문은 네 개다. 첫째, 독립 매개변수의 개수가 줄었는가. 둘째, 기존에 입력이던 수 중 하나가 계산되어 나오는가. 셋째, 새로 예측되는 관측 가능한 양이 있는가. 넷째, 그 예측이 틀릴 수 있는 방식이 구체적으로 명시되는가. 넷째 질문은 반증 가능성의 요구이고, 앞의 셋을 통과하지 못하면 남는 것은 표기법의 재배치다. 이 네 질문은 통합 트랙에서 형이상학적 주장을 다룰 때 그대로 쓰인다.

연습문제

더 읽기

• 바일의 1929년 논문 [3]은 위상 게이지 원리와 사분체 형식과 2성분 스피너를 한 편에 담고 있다.
• 아인슈타인의 통일장 프로그램 연표와 각 단계의 방정식은 [1] 14부에 있다.
• 기하학적 통일과 게이지 통일의 갈림길에 대한 개념사적 분석은 [2]을, 통일이 무엇을 성취해야 하는가라는 물음 자체는 [6]을 본다.
• 칼루차-클라인의 원 문헌은 [4,5]이다.

참고문헌

1. Pais, A. (1982). Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford University Press.
2. Cao, T. Y. (1997). Conceptual Developments of 20th Century Field Theories. Cambridge University Press.
3. Weyl, H. (1929). Elektron und Gravitation I. Zeitschrift für Physik 56, 330–352. doi:10.1007/BF01339504
4. Kaluza, T. (1921). Zum Unitätsproblem der Physik. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, 966–972.
5. Klein, O. (1926). Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Zeitschrift für Physik 37, 895–906. doi:10.1007/BF01397481
6. Morrison, M. (2000). Unifying Scientific Theories: Physical Concepts and Mathematical Structures. Unifying Scientific Theories, Cambridge University Press.