칼루차-클라인

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수식 없는 요지

공간이 우리가 보는 세 방향 말고 하나 더 있고 그 방향이 아주 작은 원으로 말려 있다고 해 보자. 그러면 5차원에는 중력만 있어도, 4차원에서 보는 사람에게는 중력과 전자기력 두 가지로 보인다. 전기장과 자기장이 사실은 감긴 방향으로 휜 시공간의 다른 이름이 되는 것이다. 게다가 전하가 왜 정수 배로만 나타나는지도 저절로 설명된다. 원을 도는 파동의 마디 수가 정수여야 하기 때문이다. 계산은 정말로 맞아떨어지고, 그래서 이 착상은 백 년 동안 되풀이해 돌아왔다. 이 단원은 그 계산을 직접 하고, 동시에 그것이 왜 우리 세계의 전자기학이 될 수 없는지도 숫자로 본다.

동기 · 두 힘을 하나의 기하로 쓰려는 시도

일반상대론은 중력을 시공간의 곡률로 바꾸었다. 전자기력도 같은 방식으로 바꾸려 하면 4차원의 곡률 자유도가 이미 중력에 다 쓰였다는 문제에 부딪힌다. 칼루차의 답은 차원을 하나 더 쓰자는 것이었다 [1].

이 착상이 진지하게 취급되는 이유는 두 가지가 동시에 나오기 때문이다. 맥스웰 작용이 손으로 넣지 않았는데 정확한 계수로 나오고, 전자기 게이지 대칭이 가정이 아니라 다섯째 방향으로의 좌표 변환, 즉 일반 공변성의 일부가 된다.

클라인은 여기에 양자역학을 더했다 [2]. 원이 컴팩트하면 그 방향의 운동량이 양자화되고 그 양자수가 곧 전하가 된다.

핵심 수식

5차원 계량을 다음 꼴로 쓴다. $y$ 는 둘레 $2\pi R_c$ 인 원의 좌표다.

\dd\hat s^2 = \phi^{-1/3}\,g_{\mu\nu}\,\dd x^\mu \dd x^\nu + \phi^{2/3}\left(\dd y + \kappa_5 A_\mu\,\dd x^\mu\right)^2 \tag{1}

이 계량을 5차원 아인슈타인-힐베르트 작용에 넣고 $y$ 로 적분하면 4차원 작용이 나온다.

\frac{1}{16\pi \hat G}\int \dd^5x\,\sqrt{-\hat g}\,\hat R = \frac{1}{16\pi G}\int \dd^4x\,\sqrt{-g}\left[R - \frac{\kappa_5^2}{4}\,\phi\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - \frac{1}{6}\frac{\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi}{\phi^2}\right] \tag{2}

여기서 $G = \hat G/2\pi R_c$ 이고 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ 다. 맥스웰 항이 표준 규격을 갖도록 잡으면

\kappa_5 = \sqrt{16\pi G} \tag{3}

이다. 5차원 무질량 장의 푸리에 모드는 4차원에서 질량과 전하를 가진 탑을 이룬다.

m_n = \frac{|n|}{R_c}, \qquad q_n = n\,\frac{\kappa_5}{R_c} \tag{4}

유도 · 게이지 대칭이 좌표 변환인 이유

먼저 $\phi = 1$ 로 두고 뼈대만 본다. (1) 을 행렬로 펴면

\hat g_{MN} = \begin{pmatrix} g_{\mu\nu} + \kappa_5^2 A_\mu A_\nu & \kappa_5 A_\mu \\ \kappa_5 A_\nu & 1 \end{pmatrix}

이다. 대칭 $5\times5$ 행렬의 성분 15개가 $g_{\mu\nu}$ 의 10개와 $A_\mu$ 의 4개와 $\phi$ 의 1개로 정확히 나뉜다. 무질량 자유도로 세도 맞는다. $D$ 차원 중력자의 자유도는 $D(D-3)/2$ 이므로 5차원에서 5개이고, 4차원에서 중력자 2개와 광자 2개와 스칼라 1개로 갈라진다.

이제 다섯째 방향으로의 좌표 변환을 보자. 모든 장이 $y$ 에 의존하지 않는다고 가정한 상태에서

y \;\to\; y + \lambda(x)

를 하면 $\dd y \to \dd y + \partial_\mu\lambda\,\dd x^\mu$ 이므로 (1) 의 괄호가 불변이려면

A_\mu \;\to\; A_\mu - \frac{1}{\kappa_5}\,\partial_\mu\lambda \tag{5}

여야 한다. 전자기 게이지 변환이 그대로 나왔다. $g_{\mu\nu}$ 는 이 변환에서 건드려지지 않는다. (1) 을 그냥 $\hat g_{\mu y} = \kappa_5 A_\mu$ 로 쓰지 않고 완전제곱 꼴로 쓴 이유가 이것이다. 완전제곱 조합만이 게이지 불변이다.

곡률 계산은 길지만 구조는 분명하다. 5차원 리치 스칼라를 $y$ 비의존 배위에서 계산하면

\hat R = R - \frac{\kappa_5^2}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \tag{6}

가 된다 ( $\phi=1$ 일 때). 부호가 맞고 계수가 정확히 $1/4$ 이라는 것이 이 계산의 요점이다. 넣지 않은 맥스웰 항이 나왔다. $\sqrt{-\hat g} = \sqrt{-g}$ 이고 $y$ 적분이 $2\pi R_c$ 를 주므로 (2) 의 앞 인자와 $G = \hat G/2\pi R_c$ 가 따라 나온다.

전하 양자화는 컴팩트성에서 온다. 5차원 무질량 스칼라를 $\Psi(x,y) = \sum_n \psi_n(x)\,e^{iny/R_c}$ 로 전개하면 $\partial_y \to in/R_c$ 다. (1) 의 역계량에서 $\partial_\mu$ 와 $\partial_y$ 가 항상 $\partial_\mu - \kappa_5 A_\mu \partial_y$ 조합으로만 나타나므로

D_\mu \psi_n = \left(\partial_\mu - i\,\frac{n\kappa_5}{R_c}\,A_\mu\right)\psi_n

가 되어 (4) 의 전하를 읽는다. 원을 도는 파동의 마디 수가 정수라는 것, 그것만으로 전하가 정수배가 된다. 동시에 $\partial_y^2$ 항이 4차원 질량항 $n^2/R_c^2$ 으로 나타난다. 여기서 클라인-고든 방정식의 질량이 기하에서 나온다.

예제 1 · 원의 크기와 첫 여기 상태

(4) 에 $n=1$ 을 넣고 $q_1 = e$ 로 두면 (3) 에서

R_c = \frac{\kappa_5}{e} = \frac{\sqrt{16\pi G}}{e} = \frac{\sqrt{16\pi}\,\ell_P}{e} \tag{7}

이다. $\ell_P = 1.62\times10^{-35}\,\mathrm{m}$ , $e = \sqrt{4\pi\alpha} = 0.303$ 을 넣으면 $R_c = 3.8\times10^{-34}\,\mathrm{m}$ 로 플랑크 길이의 스무 배 남짓이다. 클라인이 1926년에 얻은 값도 같은 자릿수였다.

그러면 첫 여기 상태의 질량은 $m_1 = \hbar c/R_c$ 다. $\hbar c = 1.97\times10^{-16}\,\mathrm{GeV\,m}$ 이므로

m_1 = \frac{1.97\times10^{-16}}{3.8\times10^{-34}} \approx 5\times10^{17}\,\mathrm{GeV}

로 플랑크 질량의 몇십 분의 일이다. 이것이 이 이론의 결정적 숫자다. (4) 과 (3) 을 합치면 전하를 띤 모든 상태에 대해

\frac{m_n}{|q_n|} = \frac{1}{\kappa_5} = \frac{1}{\sqrt{16\pi G}}

라는 고정된 관계가 성립한다. 전하가 있으면 질량이 플랑크 규모여야 한다. 전자는 전하가 $e$ 이면서 질량이 $0.511\,\mathrm{MeV}$ 이므로 이 관계를 스물한 자릿수 어긴다. 전자는 칼루차-클라인 모드가 될 수 없다.

예제 2 · 라디온을 상수로 둘 수 없다

칼루차는 (1) 의 $\phi$ 를 1로 고정했다. 이 절단이 정당한지 (2) 에서 $\phi$ 의 운동 방정식을 보면 알 수 있다. 변분하면

\Box \ln\phi = \frac{3\kappa_5^2}{4}\,\phi\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \tag{8}

꼴이 나온다. $\phi$ 를 상수로 놓으면 좌변이 0이므로 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = 0$ 이 강제된다. 즉 $\phi=1$ 절단은 전자기장이 있는 배위에서 5차원 방정식의 해가 아니다. 이것은 근사의 문제가 아니라 일관성의 문제다.

$\phi$ 를 살려 두면 새 문제가 생긴다. (2) 의 $\phi$ 는 질량항이 없는 스칼라라 장거리 힘을 매개하고, 뉴턴 상수가 장소와 시간에 따라 달라지게 만든다. 이것은 브랜스-딕케 이론이며 칼루차-클라인의 라디온은 $\omega = -1$ 에 해당하는데, 카시니 탐사선의 샤피로 지연 측정은 $\omega > 4\times10^4$ 를 요구한다. 여분 차원 모형이 라디온 안정화 기구를 반드시 갖춰야 하는 이유가 여기 있다.

세 번째 문제는 페르미온이다. 5차원 디랙 스피너를 원 위에서 줄이면 4차원 스펙트럼이 좌우 대칭인 벡터형이 된다. 약한 상호작용이 왼손 페르미온에만 작용한다는 사실을 원 컴팩트화에서는 얻을 수 없다 [3].

연습문제

문제 1유도형

5차원 무질량 스칼라의 파동 방정식에서 (4) 의 질량 공식을 유도하고, 반지름이 $10^{-18}\,\mathrm{m}$ 라면 첫 모드의 질량이 얼마인지 구하시오.

해설

평평한 5차원에서 $(\Box_4 + \partial_y^2)\Psi = 0$ 에 $\Psi = \psi_n(x)e^{iny/R_c}$ 를 넣으면 $\Box_4\psi_n = (n^2/R_c^2)\psi_n$ 이므로 $m_n = |n|/R_c$ 다. $R_c = 10^{-18}\,\mathrm{m}$ 이면 $m_1 = 1.97\times10^{-16}/10^{-18} = 197\,\mathrm{GeV}$ 다.

흔한 오류는 원의 둘레 $2\pi R_c$ 를 반지름 대신 쓰는 것이다. 유혹적인 이유는 주기 경계 조건을 "파장이 둘레에 정수 번 들어간다"로 읽기 때문인데, 그렇게 세도 $e^{i2\pi n y/L}$ 에 $L = 2\pi R_c$ 를 넣으면 같은 답이 된다. 정의를 섞어 쓰지 않는 것이 요령이다.

문제 2유도형

(5) 의 게이지 변환이 (6) 의 $F_{\mu\nu}$ 를 불변으로 남김을 확인하고, 이것이 왜 "게이지 대칭이 좌표 변환이다"라는 주장의 근거가 되는지 설명하시오.

해설

$A_\mu \to A_\mu - \kappa_5^{-1}\partial_\mu\lambda$ 이면 $F_{\mu\nu} \to F_{\mu\nu} - \kappa_5^{-1}(\partial_\mu\partial_\nu - \partial_\nu\partial_\mu)\lambda = F_{\mu\nu}$ 다. 편미분이 교환하므로 변화가 정확히 상쇄된다. 이 변환은 손으로 부과한 대칭이 아니라 5차원 일반 공변성 중 $y$ 방향 성분이므로, 전자기 게이지 대칭은 5차원 시공간 대칭의 일부로 설명된다.

흔한 오류는 여기서 곧바로 "전자기력이 기하학으로 환원되었다"고 결론짓는 것이다. 그럴듯한 이유는 형식적으로는 참이기 때문이다. 그러나 이 구성은 대칭의 형식을 설명할 뿐 전하의 크기도 전자의 질량도 물질의 카이랄성도 주지 않는다.

문제 3계산형

(8) 을 이용해, 전자기장이 존재하는 영역에서 $\phi$ 를 상수로 두는 것이 왜 해가 아닌지 보이시오. 그리고 이 사실이 (6) 로 얻은 결론을 얼마나 무효화하는지 판단하시오.

해설

$\phi = \text{const}$ 이면 (8) 의 좌변이 0이고 우변은 $F^2$ 에 비례하므로, 상수해는 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=0$ 인 배위에서만 5차원 방정식을 만족한다. 일반적인 전자기장은 이 조건을 만족하지 않는다.

그렇다고 (6) 이 무의미해지지는 않는다. $\phi$ 를 살린 (2) 에서도 맥스웰 항은 그대로 나오고 계수도 같다. 달라지는 것은 그 항 앞에 $\phi$ 가 붙어 유효 미세구조상수가 라디온의 기댓값으로 정해진다는 점이다. 즉 결론은 "맥스웰 이론이 나오지 않는다"가 아니라 "맥스웰 이론과 함께 원치 않는 스칼라가 반드시 함께 나온다"이다.

흔한 오류는 일관되지 않은 절단을 "근사"로 부르고 넘어가는 것이다. 유혹적인 이유는 4차원 관점에서 무거운 모드를 버리는 것이 늘 정당하기 때문이다. 그러나 $\phi$ 는 무거운 모드가 아니라 무질량 모드다. 무질량 장을 손으로 끄는 것은 근사가 아니다.

문제 4개념 진술형

여분 차원의 반지름을 (7) 대신 $10^{-18}\,\mathrm{m}$ 로 자유롭게 잡으면 전자의 전하-질량비 문제가 해결되는지 검토하시오.

해설

해결되지 않는다. (4) 과 (3) 에서 $q_n/m_n = \kappa_5 = \sqrt{16\pi G}$ 는 $R_c$ 에 의존하지 않는다. 반지름을 키우면 첫 모드의 질량과 전하가 같은 비율로 함께 줄어든다. $R_c = 10^{-18}\,\mathrm{m}$ 에서 $m_1 = 197\,\mathrm{GeV}$ 이지만 그 모드의 전하는 $e$ 가 아니라 $e$ 의 $10^{-16}$ 배가 된다. 관측된 전하 단위를 재현하려면 (7) 로 돌아가야 한다.

흔한 오류는 반지름을 자유 매개변수로 보고 아무 값이나 맞출 수 있다고 보는 것이다. 유혹적인 이유는 현대의 여분 차원 모형들이 실제로 반지름을 조정하기 때문인데, 그 모형들은 전하를 칼루차-클라인 운동량으로 보지 않는다. 전하를 기하에서 얻겠다는 원래의 약속을 포기한 대가로 반지름의 자유를 얻은 것이다.

더 읽기

칼루차의 원 논문 [1]은 라디온을 상수로 고정한 채 논의한다. 이 단원 예제 2가 그 지점을 다룬다.
클라인 [2]이 컴팩트성과 전하 양자화를 연결했다. 반지름 추정도 여기 있다.
차원 축소 계산의 규약은 [4]과 [5]에서 확인한다. 스피너와 카이랄성의 차원 의존성은 [3]을 본다.

참고문헌

Kaluza, T. (1921). Zum Unitätsproblem der Physik. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, 966–972.
Klein, O. (1926). Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Zeitschrift für Physik 37, 895–906. doi:10.1007/BF01397481
Nakahara, M. (2003). Geometry, Topology and Physics. Institute of Physics Publishing, 2판.
Zee, A. (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell. Princeton University Press, 2판.
Carroll, S. M. (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley.

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