공변 미분

정의

여기서 $T^a$는 장이 속한 표현의 생성자다. 부호와 $i$의 위치는 교과서마다 다르므로 주의한다. Peskin & Schroeder는 $D_\mu = \partial_\mu - igA^a_\mu t^a$를 쓴다.

성질

• 공변성: $\psi \to U\psi$이면 $D_\mu\psi \to U D_\mu\psi$.
• 교환자가 장세기: $[D_\mu, D_\nu] = -ig F_{\mu\nu}$. 이것이 장세기 텐서의 좌표 무관 정의다.
• 최소 결합: 자유 라그랑지안의 $\partial_\mu$를 $D_\mu$로 바꾸는 것만으로 상호작용항이 결정된다. 예를 들어 디랙 장에서 $\bar\psi i\gamma^\mu D_\mu\psi = \bar\psi i\gamma^\mu\partial_\mu\psi + g\,\bar\psi\gamma^\mu T^a\psi\,A^a_\mu$.

일반상대론과의 비유

일반상대론의 공변 미분 $\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu + \Gamma^\nu_{\mu\lambda}V^\lambda$에서 크리스토펠 기호가 하는 역할을 게이지 이론에서는 $A_\mu$가 한다. 두 경우 모두 "접속(connection)"이며, 곡률은 접속의 교환자로 정의된다. 이 기하학적 공통점이 게이지 대칭과 중력을 함께 다루려는 통일 시도의 출발점이다.