장세기 텐서

정의

성분으로는 $F^a_{\mu\nu} = \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu + g f^{abc}A^b_\mu A^c_\nu$.

U(1)의 경우

$[A_\mu, A_\nu] = 0$이므로 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$. 성분은

(부호는 $\eta = \operatorname{diag}(+,-,-,-)$, $A^\mu = (\varphi, \mathbf A)$ 규약). 두 불변량은 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = -2(\mathbf E^2 - \mathbf B^2)$, $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} = -8\,\mathbf E\cdot\mathbf B$.

변환 성질

게이지 변환 아래에서 $F_{\mu\nu} \to U F_{\mu\nu} U^{-1}$. U(1)에서는 불변, 비아벨에서는 딸림표현으로 회전하므로 $\tr(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})$만이 불변량이다. 이것이 양-밀스 작용의 형태를 결정한다.

비앙키 항등식

$D_{[\lambda}F_{\mu\nu]} = 0$. U(1)에서는 균질 맥스웰 방정식 $\nabla\cdot\mathbf B = 0$, $\nabla\times\mathbf E + \partial_t\mathbf B = 0$이다.