게이지 자유도의 최초 등장

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수식 없는 요지

전자기 퍼텐셜은 숫자 네 개로 이루어져 있지만 빛의 편광은 두 가지뿐이다. 나머지 둘은 어디로 갔는가. 이 단원의 답은 그 둘이 애초에 물리적 정보가 아니었다는 것이다. 서로 다른 퍼텐셜이 같은 전자기장을 주는 경우가 있고, 그런 퍼텐셜들은 같은 물리 상태의 다른 이름일 뿐이다. 이 중복을 게이지 자유도라 부르며, 계산할 때는 이름 하나를 골라 고정한다. 불편해 보이는 이 중복을 버리지 않고 안고 가는 이유가 있는데, 버리면 국소성과 상대론적 대칭을 동시에 눈에 보이게 유지할 수 없기 때문이다.

동기 · 중복을 왜 버리지 않는가

관측 가능한 양은 장세기 $F_{\mu\nu}$ 이고 퍼텐셜은 그것을 만드는 보조 도구처럼 보인다. 그렇다면 $F_{\mu\nu}$ 만 기본 변수로 쓰면 될 것 같다. 그러나 그렇게 하면 세 가지를 잃는다.

첫째, 하전 물질과의 결합을 쓸 수 없다. 전자의 파동함수가 각 점에서 위상 회전 $\psi \to e^{i\alpha(x)}\psi$ 를 하더라도 물리가 같아야 한다고 요구하면, 미분이 위상을 망가뜨리므로 $\partial_\mu$ 를 공변 미분 $D_\mu = \partial_\mu - ieA_\mu$ 로 바꾸어야 한다. 여기에 들어오는 것은 $F_{\mu\nu}$ 가 아니라 $A_\mu$ 다.

둘째, 아하로노프-봄 효과는 $F_{\mu\nu}$ 가 0인 영역을 지나는 전자의 간섭 무늬가 바뀔 수 있음을 보인다. 국소적으로는 장이 없는데도 효과가 있으므로, $F$ 만으로 쓴 기술은 국소적이지 않다.

셋째, 이 구조 전체가 다음 모듈의 양-밀스 작용으로 그대로 옮겨간다. 바일이 1929년에 국소 위상 불변성으로 전자기 상호작용을 재구성한 논문이 그 출발점이다 [1].

핵심 수식

게이지 변환은 임의의 함수 $\chi(x)$ 하나를 쓴다.

A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu\chi, \qquad \psi \to e^{ie\chi}\psi \tag{1}

자유 맥스웰 방정식을 퍼텐셜로 쓰면 연산자 형태가 드러난다.

\big(\eta^{\mu\nu}\,\partial^2 - \partial^\mu\partial^\nu\big)A_\nu = J^\mu \tag{2}

이 연산자는 역이 없다. 로렌츠 게이지를 택하면

\partial_\mu A^\mu = 0 \quad\Longrightarrow\quad \partial^2 A^\mu = J^\mu \tag{3}

으로 단순해지지만, 이 조건도 자유도를 하나밖에 없애지 못한다.

유도 · 생략 없이

연산자가 왜 역이 없는가

(2) 의 좌변에 $A_\nu = \partial_\nu\chi$ 를 넣어 보자.

\eta^{\mu\nu}\partial^2\partial_\nu\chi - \partial^\mu\partial^\nu\partial_\nu\chi = \partial^\mu\partial^2\chi - \partial^\mu\partial^2\chi = 0

즉 순수 게이지 배위는 연산자의 핵에 들어 있다. 핵이 비어 있지 않은 연산자는 역이 없으므로, 주어진 $J^\mu$ 에 대한 해는 유일하지 않고 게이지 변환만큼의 무한한 가족을 이룬다. 양자화 단계에서 전파인자는 바로 이 연산자의 역이므로, 게이지를 고정하지 않으면 전파인자를 정의할 수조차 없다 [2].

자유도 세기

해밀토니안 쪽에서 세면 더 분명하다. $\lag = -\tfrac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 에서 $A_\mu$ 에 켤레인 운동량은

\pi^\mu = \frac{\partial\lag}{\partial(\partial_0 A_\mu)} = -F^{0\mu}

이고 $F$ 의 반대칭성 때문에 $\pi^0 = 0$ 이다. $A_0$ 에는 켤레 운동량이 없다. 즉 $A_0$ 는 역학 변수가 아니라 라그랑주 승수이며, 그것으로 변분하면 가우스 법칙 $\nabla\cdot\mathbf E = \rho$ 라는 제약이 나온다. 시간 미분이 없는 이 식은 운동 방정식이 아니라 초기 자료에 걸리는 조건이다.

세어 보면 성분 4개에서 $A_0$ 가 역학 변수가 아니라는 사실로 1개, 가우스 법칙 제약으로 1개가 빠져 물리적 자유도는 2개다. 질량 없는 스핀 1 입자의 편광이 둘이라는 사실이 여기서 나온다.

게이지 고정

로렌츠 게이지 (3) 을 택해도 잔여 자유도가 남는다. $\partial^2\chi = 0$ 을 만족하는 $\chi$ 로는 여전히 게이지 변환을 할 수 있기 때문이다. 이 잔여 자유도가 나머지 한 개의 비물리적 성분을 없앤다.

계산 목적에 따라 두 방식이 갈린다. 공변 게이지 고정은 작용에 항을 더한다.

\lag_{\text{고정}} = -\tfrac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - \frac{1}{2\xi}\big(\partial_\mu A^\mu\big)^2 \tag{4}

이러면 연산자가 가역이 되고 전파인자가 정의된다. 매개변수 $\xi$ 는 임의이며, 물리적 관측량은 $\xi$ 에 의존하지 않아야 한다. 이 독립성 검사가 계산 검산의 표준 수단이다 [3].

쿨롱 게이지 $\nabla\cdot\mathbf A = 0$ 은 로렌츠 대칭을 눈에 보이지 않게 만드는 대신 물리적 자유도 둘만 남긴다. 상대론적 대칭과 명시적 물리성을 동시에 가질 수 없다는 것이 게이지 이론의 구조적 특징이다.

예제 1 · 편광 벡터

평면파 해 $A^\mu = \epsilon^\mu e^{-ik\cdot x}$ 를 (3) 에 넣으면 $k^2 = 0$ 과 $k\cdot\epsilon = 0$ 을 얻는다. 여기에 잔여 게이지 변환은

\epsilon^\mu \to \epsilon^\mu + \alpha\,k^\mu \tag{5}

로 작용한다. (5) 가 물리를 바꾸지 않으므로 $k^\mu$ 에 비례하는 부분은 세지 않는다. 남는 독립 편광은 둘이다.

$k^\mu = (\omega, 0, 0, \omega)$ 를 잡으면 $k\cdot\epsilon = 0$ 은 $\epsilon^0 = \epsilon^3$ 을 뜻하고, (5) 로 $\epsilon^0 = \epsilon^3 = 0$ 을 만들 수 있다. 남는 것은 $\epsilon^1, \epsilon^2$ , 즉 진행 방향에 수직인 두 편광이다.

예제 2 · 관측되는 것은 무엇인가

게이지 불변인 국소량은 $F_{\mu\nu}$ 지만, 게이지 불변인 비국소량도 있다. 닫힌 경로에 대한 선적분

\oint_C A_\mu\,\dd x^\mu

은 (1) 아래에서 $\oint\partial_\mu\chi\,\dd x^\mu = 0$ 만큼 변하므로 불변이다. 스토크스 정리로 이 양은 경로가 감싼 자속과 같다. 아하로노프-봄 효과에서 전자가 얻는 위상이 정확히 이 양이다.

따라서 " $A_\mu$ 는 물리적이지 않다"는 말은 절반만 맞다. 성분 값 자체는 규약이지만, 게이지 불변인 조합으로 구성한 양은 관측된다. 비가환 이론에서 이 선적분의 일반화가 윌슨 고리이며, 가둠 현상의 판별자로 쓰인다.

연습문제

문제 1유도형

(4) 에서 $\xi = 1$ 로 두었을 때 운동 방정식이 $\partial^2 A^\mu = J^\mu$ 가 됨을 보이고, 이 게이지 고정 항이 물리적 결과를 바꾸지 않는 이유를 설명하시오.

해설

$-\tfrac{1}{2\xi}(\partial_\mu A^\mu)^2$ 의 변분은 $\tfrac{1}{\xi}\partial^\nu\partial_\mu A^\mu$ 를 주므로, (2) 의 $-\partial^\mu\partial^\nu A_\nu$ 항과 $\xi = 1$ 에서 정확히 상쇄된다. 남는 것은 $\partial^2 A^\mu = J^\mu$ 다.

물리적 결과가 바뀌지 않는 이유는 더해진 항이 게이지 궤도를 따라 움직이는 방향에만 작용하고, 물리적 관측량은 그 방향에 대해 상수이기 때문이다. 양자화에서는 이 진술이 워드 항등식으로 정식화되며, 보존되는 전류에 결합한 진폭에서 $k^\mu$ 에 비례하는 항이 사라진다는 형태로 나타난다.

흔한 오류는 게이지 고정 항이 이론을 바꾼다고 보는 것이다. 라그랑지안이 달라졌으니 그럴듯하다. 그러나 달라진 것은 같은 물리적 배위 공간을 좌표화하는 방식이며, 게이지 불변인 관측량의 값은 그대로다. 검산은 $\xi$ 의존성이 최종 결과에서 사라지는지 보는 것이다.

문제 2계산형

쿨롱 게이지에서 $A_0$ 가 만족하는 방정식을 구하고, 그 해가 순간적으로 전하 분포에 의해 결정된다는 사실이 인과율을 깨지 않는 이유를 설명하시오.

해설

$\nabla\cdot\mathbf A = 0$ 에서 가우스 법칙은 $-\nabla^2 A_0 = \rho$ 가 되고, 해는 $A_0(t,\mathbf x) = \int \dd^3x'\,\rho(t,\mathbf x')/4\pi|\mathbf x - \mathbf x'|$ 다. 같은 시각의 전하 분포가 먼 곳의 $A_0$ 를 정한다.

인과율이 깨지지 않는 이유는 $A_0$ 가 관측량이 아니기 때문이다. 전기장을 구할 때 $-\nabla A_0$ 의 순간적인 부분은 $-\partial_t\mathbf A$ 에서 오는 항과 상쇄되어, 실제 $\mathbf E$ 는 지연된 형태로만 전파한다.

흔한 오류는 이 순간성을 보고 쿨롱 게이지가 상대론과 충돌한다고 결론짓는 것이다. 식의 모양이 정말로 순간적이라 그럴듯하다. 그러나 게이지 의존적인 중간 양이 초광속으로 보이는 것은 좌표 선택의 인공물이며, 게이지 불변량에서는 사라진다.

문제 3개념 진술형

"게이지 대칭은 자연의 대칭이다"라는 흔한 서술이 어떤 점에서 오해를 부르는지, 전역 대칭과 비교해 설명하시오.

해설

전역 대칭은 서로 다른 물리 상태들을 서로 옮긴다. 그래서 겹친 에너지 준위와 보존 전하 같은 관측 가능한 결과가 있다. 게이지 변환은 같은 물리 상태의 다른 이름들 사이를 옮긴다. 옮겨진 배위는 새로운 상태가 아니므로, 게이지 변환은 대칭이라기보다 기술의 중복이다.

이 구분의 실질적 결과가 몇 가지 있다. 게이지 대칭은 자발적으로 깨질 수 없다. 힉스 기작에서 실제로 일어나는 일은 게이지 고정 뒤에 남은 전역 대칭이 깨지는 것이다. 또 게이지 대칭에는 물리적 상태를 세는 뇌터 전하가 대응하지 않는다. 가우스 법칙이 그 자리를 대신하는데, 그것은 보존 법칙이 아니라 제약이다 [4].

흔한 오류는 게이지 대칭에서 전역 대칭처럼 관측 가능한 결과를 기대하는 것이다. 두 경우 모두 라그랑지안을 불변으로 두는 변환이므로 그럴듯하다. 그러나 불변성의 의미가 다르며, 게이지 불변성의 진짜 내용은 "쓸 수 있는 상호작용이 심하게 제한된다"는 쪽에 있다.

더 읽기

게이지 고정과 전파인자의 관계는 [2] 9.4절에서 경로적분과 함께 읽는 것이 좋다.
제약이 있는 계의 정준 형식은 [4] 7.6절에 정리되어 있다.
공변 게이지의 $\xi$ 의존성과 그 검산 활용은 [3] 14장에 있다.
국소 위상 불변성으로 전자기학을 재구성한 원논문은 [1]이다.

참고문헌

Weyl, H. (1929). Elektron und Gravitation I. Zeitschrift für Physik 56, 330–352. doi:10.1007/BF01339504
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
Schwartz, M. D. (2014). Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press.
Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields, Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press.

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A1-6게이지 자유도의 최초 등장