국소 게이지 대칭

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수식 없는 요지

앞 모듈에서 복소 장의 위상을 우주 전체에서 똑같이 돌려도 물리가 변하지 않는다는 것을 보았다. 이번에는 그 요구를 한 단계 세게 만든다. 여기서 돌리는 각도와 저기서 돌리는 각도가 달라도 물리가 같아야 한다고 요구하는 것이다. 이렇게 하면 원래의 이론은 곧바로 깨지는데, 깨진 부분을 정확히 메우는 새 장을 하나 넣으면 대칭이 되살아난다. 놀랍게도 그 장은 전자기장과 완전히 같은 성질을 갖는다. 즉 전자기 상호작용은 따로 가정한 것이 아니라 대칭을 국소화하라는 요구에서 유도된 결과다.

동기 · 전역 대칭만으로 설명하지 못한 것

전역 대칭은 이상한 성질을 하나 갖는다. 위상 $\alpha$ 를 바꾸려면 우주의 모든 점에서 동시에 같은 값으로 바꾸어야 한다. 이것은 상대성 이론의 정신과 어울리지 않는다. 한 점에서 내린 규약이 빛보다 빠르게 온 우주에 전달되어야 하기 때문이다. 바일은 이 불편함을 이론을 고치는 원리로 삼았다 [1].

더 실용적인 이유도 있다. 뇌터 정리는 대칭에서 보존류를 준다. 그러나 그 보존류가 무엇과 어떻게 상호작용하는지는 말해 주지 않는다. 전하는 보존되지만 전하가 왜 광자와 결합하는지, 결합의 형태가 왜 $j^\mu A_\mu$ 인지는 따로 손으로 넣어야 했다. 국소 대칭을 요구하면 이 결합 형태까지 유일하게 결정된다.

핵심 수식

복소 스칼라 장의 자유 라그랑지안에서 출발한다.

\lag_0 = \partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi \tag{1}

국소 변환 $\phi(x) \to e^{i\alpha(x)}\phi(x)$ 를 요구한다. 이때 공변 미분과 게이지 장의 변환 규칙을 다음과 같이 정의한다.

D_\mu\phi = \left(\partial_\mu + ieA_\mu\right)\phi , \qquad A_\mu \to A_\mu - \frac{1}{e}\,\partial_\mu\alpha \tag{2}

그러면 $D_\mu\phi \to e^{i\alpha(x)}D_\mu\phi$ 로 장 자신과 똑같이 변한다. 이 성질 하나로 불변인 라그랑지안이 완성된다.

\lag = (D_\mu\phi)^*(D^\mu\phi) - m^2\phi^*\phi - \frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} , \qquad F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \tag{3}

장세기는 공변 미분의 교환자로도 쓸 수 있다.

[D_\mu, D_\nu]\,\phi = ie\,F_{\mu\nu}\,\phi \tag{4}

유도 · 생략 없이

먼저 왜 깨지는지부터 본다. 국소 변환 아래에서 미분을 그대로 취하면

\partial_\mu\left(e^{i\alpha(x)}\phi\right) = e^{i\alpha(x)}\left(\partial_\mu\phi + i\,\partial_\mu\alpha\,\phi\right) \tag{5}

가 되어 $i\,\partial_\mu\alpha\,\phi$ 라는 여분 항이 남는다. $\alpha$ 가 상수였을 때 이 항이 없었던 것이 전역 대칭의 전부였다. 이제 (1) 에 이 결과를 넣으면 교차항 때문에 $\lag_0$ 이 불변이 아니다.

여분 항의 구조를 보자. 그것은 $\partial_\mu\alpha$ 에 비례하고, 장 $\phi$ 에 선형이며, 지표 $\mu$ 를 하나 가진다. 따라서 이 항을 상쇄하려면 지표 $\mu$ 를 하나 갖고 변환할 때 $\partial_\mu\alpha$ 만큼 이동하는 새 장이 필요하다. 그것이 (2) 의 $A_\mu$ 다. 필요한 장의 종류가 논리에서 결정된다는 점이 중요하다. 스칼라도 텐서도 아닌 벡터장 하나다.

실제로 확인한다. 변환한 공변 미분은

D'_\mu\left(e^{i\alpha}\phi\right) = \left(\partial_\mu + ieA_\mu - i\,\partial_\mu\alpha\right)\left(e^{i\alpha}\phi\right) = e^{i\alpha}\left(\partial_\mu\phi + i\,\partial_\mu\alpha\,\phi + ieA_\mu\phi - i\,\partial_\mu\alpha\,\phi\right) \tag{6}

이고, 가운데 두 항이 서로 지워져 $e^{i\alpha}D_\mu\phi$ 만 남는다. 미분에서 생긴 (5) 의 오염을 게이지 장의 이동이 정확히 먹어 치운 것이다.

그러면 $(D_\mu\phi)^*(D^\mu\phi)$ 는 위상이 곱해졌다 나뉘며 상쇄되어 불변이다. 남은 것은 $A_\mu$ 자신의 운동항이다. $A_\mu$ 는 $\partial_\mu\alpha$ 만큼 이동하므로 $A_\mu A^\mu$ 같은 항은 불변이 아니다. 반면 (3) 의 $F_{\mu\nu}$ 는

F_{\mu\nu} \to \partial_\mu\!\left(A_\nu - \tfrac1e\partial_\nu\alpha\right) - \partial_\nu\!\left(A_\mu - \tfrac1e\partial_\mu\alpha\right) = F_{\mu\nu} \tag{7}

로 그대로다. 편미분이 교환하기 때문이다. 결국 $A_\mu$ 로 만들 수 있는 가장 낮은 차수의 불변량은 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 하나뿐이고, 계수 $-\tfrac14$ 는 정준 규격화가 정한다. 우리는 맥스웰 이론을 재발견했다.

(4) 은 같은 이야기를 기하학의 언어로 말한다. 공변 미분을 두 방향으로 차례로 취할 때 순서를 바꾸면 차이가 생기고, 그 차이가 장세기다. 이것이 곡률과 같은 구조라는 사실은 일반상대론과의 유비에서 되풀이된다 [2].

예제 1 · 전자와 광자의 결합 형태

디랙 장에 같은 절차를 적용한다. $\lag = \bar\psi\left(i\gamma^\mu\partial_\mu - m\right)\psi$ 에서 $\partial_\mu \to D_\mu = \partial_\mu + ieA_\mu$ 로 바꾸면

\lag = \bar\psi\left(i\gamma^\mu D_\mu - m\right)\psi = \bar\psi\left(i\gamma^\mu\partial_\mu - m\right)\psi - e\,\bar\psi\gamma^\mu\psi\,A_\mu \tag{8}

가 된다. 마지막 항이 상호작용이고, 거기 들어간 $\bar\psi\gamma^\mu\psi$ 는 전역 대칭에서 얻은 뇌터 흐름 바로 그것이다. 결합의 형태가 $j^\mu A_\mu$ 인 이유가 여기서 답해진다. 게이지 장은 대칭을 국소화할 때 생긴 결함을 메우므로, 그 대칭이 만든 흐름에만 결합할 수밖에 없다. 이 방식을 최소 결합이라 부른다 [3].

예제 2 · 광자가 질량을 가질 수 없는 이유

프로카 질량항 $\tfrac12 m_A^2 A_\mu A^\mu$ 를 (3) 에 더해 보자. 게이지 변환을 하면

\tfrac12 m_A^2\left(A_\mu - \tfrac1e\partial_\mu\alpha\right)\left(A^\mu - \tfrac1e\partial^\mu\alpha\right) \neq \tfrac12 m_A^2 A_\mu A^\mu \tag{9}

이므로 대칭이 깨진다. 국소 게이지 대칭을 요구하는 한 게이지 보손은 무질량이다. 그런데 약한 상호작용을 매개하는 보손은 무겁다. 이 충돌이 이 모듈의 나머지 전체를 끌고 가는 문제이며, 답은 대칭을 포기하는 것이 아니라 진공을 비대칭으로 만드는 데 있다.

연습문제

문제 1유도형

(4) 을 직접 계산해 $[D_\mu, D_\nu]\phi = ieF_{\mu\nu}\phi$ 를 확인하고, 이 교환자가 $\phi$ 의 미분을 포함하지 않는다는 사실이 왜 중요한지 설명하시오.

해설

$D_\mu D_\nu\phi = (\partial_\mu + ieA_\mu)(\partial_\nu\phi + ieA_\nu\phi)$ 를 전개하면 $\partial_\mu\partial_\nu\phi + ie(\partial_\mu A_\nu)\phi + ieA_\nu\partial_\mu\phi + ieA_\mu\partial_\nu\phi - e^2A_\mu A_\nu\phi$ 다. $\mu \leftrightarrow \nu$ 로 바꾼 것을 빼면 앞뒤 대칭인 항이 모두 지워지고 $ie(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)\phi$ 만 남는다.

미분이 남지 않는다는 것은 교환자가 미분 연산자가 아니라 곱셈 연산자라는 뜻이고, 따라서 $F_{\mu\nu}$ 는 장 $\phi$ 와 무관하게 정의되는 $A_\mu$ 만의 함수다. 그래서 장세기를 게이지 장 자체의 국소 성질로 쓸 수 있다.

흔한 오류는 교환자에서 $A_\nu\partial_\mu\phi$ 항이 남는다고 계산하는 것이다. 그럴듯한 이유는 $A_\mu$ 와 $\partial_\nu$ 가 교환하지 않는다는 점에 지나치게 주의를 기울이다가, 반대 순서에도 똑같은 항이 있다는 사실을 놓치기 때문이다. 빼기의 상대가 무엇인지 끝까지 같이 써 두면 실수가 줄어든다.

문제 2계산형

(3) 에서 $A_\mu$ 에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 구하고, 원천 항이 (1) 의 전역 U(1) 뇌터 흐름과 같음을 확인하시오.

해설

$A_\nu$ 로 변분하면 운동항에서 $\partial_\mu F^{\mu\nu}$ 가 나오고, $(D_\mu\phi)^*(D^\mu\phi)$ 에서 $A_\nu$ 에 선형인 항과 이차인 항이 함께 나온다. 결과는 $\partial_\mu F^{\mu\nu} = -j^\nu$ 이며 $j^\nu = ie\left(\phi^*D^\nu\phi - \phi(D^\nu\phi)^*\right)$ 이다.

$A_\mu \to 0$ 극한에서 이것은 전역 대칭의 뇌터 흐름 $ie(\phi^*\partial^\nu\phi - \phi\,\partial^\nu\phi^*)$ 로 돌아간다. 다만 일반적으로는 $\partial^\nu$ 가 아니라 $D^\nu$ 가 들어가야 한다.

흔한 오류는 게이지 이론의 원천으로 전역 흐름 $ie(\phi^*\partial^\nu\phi - \phi\partial^\nu\phi^*)$ 를 그대로 쓰는 것이다. 그럴듯한 이유는 두 표현이 자유장 극한에서 일치하고 교과서가 자유장 계산을 먼저 보여 주기 때문이다. 그러나 전역 표현은 게이지 불변이 아니며, 그것을 원천으로 쓰면 $\partial_\mu\partial_\nu F^{\mu\nu} = 0$ 이 요구하는 보존 조건이 성립하지 않는다.

문제 3개념 진술형

"게이지 대칭은 물리적 대칭이 아니라 기술의 잉여다"라는 주장과 "게이지 대칭이 상호작용을 결정한다"는 주장은 모순인가? 400자 이내로 답하시오.

해설

모순이 아니다. 두 문장이 말하는 대상이 다르기 때문이다. 게이지 변환은 같은 물리 상태를 다른 좌표로 적는 방식이고, 서로 게이지 변환으로 이어지는 배위들은 물리적으로 구별되지 않는다. 이 뜻에서 게이지 대칭은 잉여다. 관측 가능한 대칭은 오히려 전역 U(1) 쪽이다.

동시에, 잉여를 유지하라는 요구는 라그랑지안에 쓸 수 있는 항의 목록을 강하게 제한한다. 질량항은 금지되고, 결합은 $j^\mu A_\mu$ 형태로 고정되며, 게이지 장의 운동항은 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 로 유일해진다. 제약이 곧 예측력이다.

흔한 오류는 "잉여이므로 내용이 없다"로 넘어가는 것이다. 그럴듯한 이유는 일상적으로 잉여란 버려도 되는 것을 뜻하기 때문이다. 그러나 여기서 잉여는 이론을 적는 언어의 성질이고, 언어에 부과된 제약은 그 언어로 적을 수 있는 물리를 실제로 줄인다.

더 읽기

게이지 원리를 이론 구성의 출발점으로 삼은 최초의 서술은 [1]이다. 원래 시도는 척도 변환이었고 위상 변환으로 옮겨 오면서 성공했다.
최소 결합과 QED 라그랑지안의 조립은 [3] 4장과 15장에 있다.
게이지 잉여를 경로적분에서 어떻게 다루는지는 [4] 25장이 정리가 잘 되어 있다.

참고문헌

Weyl, H. (1929). Elektron und Gravitation I. Zeitschrift für Physik 56, 330–352. doi:10.1007/BF01339504
Zee, A. (2016). Group Theory in a Nutshell for Physicists. Princeton University Press.
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
Schwartz, M. D. (2014). Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press.

초고 AI 보조이 글은 초고 작성에 AI 보조를 썼습니다. 수식 유도와 인용은 사람이 확인해야 검토 완료로 올라갑니다.사용 범위

A3-1국소 게이지 대칭