양-밀스 이론

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수식 없는 요지

앞 단원에서 국소화한 대칭은 위상 하나를 돌리는 단순한 것이었다. 이번에는 돌릴 수 있는 방향이 여러 개인 경우를 다룬다. 방향이 여러 개면 돌리는 순서가 결과를 바꾸는데, 이 순서 의존성이 이론을 근본적으로 다르게 만든다. 게이지 장 자신이 대칭의 대상이 되어 버리기 때문에, 광자와 달리 이 장들은 서로를 밀고 당긴다. 강한 상호작용이 가까이서는 약해지고 멀리서는 강해지는 기묘한 성질이 바로 여기서 나온다.

동기 · 왜 U(1) 로는 부족한가

양성자와 중성자는 질량이 0.1% 남짓 차이 날 뿐이고 강한 상호작용에 대해 거의 같게 행동한다. 하이젠베르크는 이 둘을 한 이중항의 두 성분으로 보는 아이소스핀 대칭을 제안했다. 양과 밀스가 1954년에 던진 물음은 간단하다. 전역 아이소스핀 대칭을 국소화하면 무엇이 나오는가 [1].

문제는 아이소스핀 군 SU(2) 의 생성자들이 서로 교환하지 않는다는 데 있다. 한 점에서 양성자를 중성자로 돌리는 조작과 다른 축으로 돌리는 조작은 순서를 바꾸면 결과가 다르다. 앞 단원의 유도는 위상이 그저 곱해졌다 나뉜다는 사실에 기대고 있었으므로, 그대로는 통하지 않는다.

핵심 수식

리 대수의 에르미트 생성자 $T^a$ 가 구조상수 $f^{abc}$ 로 닫힌다고 하자.

[T^a, T^b] = i f^{abc} T^c , \qquad \tr\!\left(T^a T^b\right) = \tfrac12\,\delta^{ab} \tag{1}

장 $\psi$ 가 어떤 표현으로 $\psi \to U(x)\psi$ , $U = \exp\!\left(i\alpha^a(x)T^a\right)$ 로 변환할 때 공변 미분과 게이지 장의 변환은

D_\mu = \partial_\mu - ig\,A^a_\mu T^a , \qquad A_\mu \to U A_\mu U^{-1} - \frac{i}{g}\left(\partial_\mu U\right)U^{-1} \tag{2}

이다. 여기서 $A_\mu \equiv A^a_\mu T^a$ 로 묶어 썼다. 장세기는 교환자로 정의한다.

[D_\mu, D_\nu] = -ig\,F_{\mu\nu} , \qquad F^a_{\mu\nu} = \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu + g f^{abc} A^b_\mu A^c_\nu \tag{3}

양-밀스 작용은 맥스웰 작용의 직접적 일반화다.

S_{\text{YM}} = -\frac12\int \dd^4x\;\tr\!\left(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\right) = -\frac14\int \dd^4x\; F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu} \tag{4}

유도 · 생략 없이

먼저 (2) 의 변환 규칙이 어디서 오는지 본다. 요구는 $D_\mu\psi \to U D_\mu\psi$ 하나다. 좌변을 풀어 쓰면

\left(\partial_\mu - igA'_\mu\right)U\psi = \left(\partial_\mu U\right)\psi + U\,\partial_\mu\psi - igA'_\mu U\psi \tag{5}

이고, 이것이 $U\partial_\mu\psi - ig\,UA_\mu\psi$ 와 같아야 한다. $\partial_\mu\psi$ 항은 자동으로 맞으므로 남는 조건은 $\left(\partial_\mu U\right) - ig A'_\mu U = -ig\,UA_\mu$ 이다. 오른쪽에서 $U^{-1}$ 을 곱하면 (2) 의 둘째 식이 그대로 나온다.

두 항의 성격이 다르다. 둘째 항 $-\tfrac{i}{g}(\partial_\mu U)U^{-1}$ 은 U(1) 에서 본 이동 항의 일반화다. 그러나 첫째 항 $UA_\mu U^{-1}$ 은 U(1) 에는 없던 것으로, $A_\mu$ 자신이 딸림표현으로 회전한다는 뜻이다. 게이지 장이 게이지 전하를 띤다. 광자는 전기적으로 중성이지만 글루온은 색을 가진다는 사실이 이 한 항에서 나온다.

이제 (3) 을 계산한다. $A_\mu$ 를 행렬로 보고 교환자를 전개하면

[D_\mu, D_\nu] = -ig\left(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\right) + (-ig)^2\left[A_\mu, A_\nu\right] = -ig\left(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu - ig\left[A_\mu, A_\nu\right]\right) \tag{6}

이다. 성분으로 내리려면 $[A_\mu, A_\nu] = A^b_\mu A^c_\nu\left[T^b, T^c\right] = i f^{bca} A^b_\mu A^c_\nu T^a$ 를 쓴다. $-ig \cdot i f^{bca} = g f^{abc}$ 이므로 (3) 의 셋째 항을 얻는다. 여기서 U(1) 과의 차이가 하나로 압축된다. 구조상수가 0이 아니면 장세기가 게이지 장에 대해 비선형이다.

(2) 에서 $F_{\mu\nu} \to U F_{\mu\nu} U^{-1}$ 이 따른다. 교환자 정의를 쓰면 바로 보인다. 그러므로 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 자체는 불변이 아니고, 대각합을 취한 (4) 이 순환 성질 덕분에 불변이다. U(1) 에서는 $F_{\mu\nu}$ 가 아예 불변이었으므로 이 구분이 필요 없었다.

운동 방정식은 (4) 을 $A^a_\nu$ 로 변분해 얻는다. 비선형 항이 미분에도 걸리므로 결과의 미분은 보통 미분이 아니라 공변 미분이 된다.

D_\mu F^{\mu\nu} = \partial_\mu F^{\mu\nu} - ig\left[A_\mu, F^{\mu\nu}\right] = J^\nu \tag{7}

여기에 $D_\nu$ 를 한 번 더 취하면 좌변이 $\tfrac12[D_\nu, D_\mu]F^{\mu\nu} \propto [F_{\mu\nu}, F^{\mu\nu}] = 0$ 이 되어 $D_\nu J^\nu = 0$ 이 나온다. 보존되는 것은 보통 발산이 아니라 공변 발산이며, 이 때문에 비가환 이론에서 게이지 전하를 정의하는 일은 U(1) 만큼 간단하지 않다.

예제 1 · SU(2) 의 성분 계산

$T^a = \sigma^a/2$ , $f^{abc} = \epsilon^{abc}$ 이므로 게이지 장은 $W^1, W^2, W^3$ 세 개다. (3) 은

W^a_{\mu\nu} = \partial_\mu W^a_\nu - \partial_\nu W^a_\mu + g\,\epsilon^{abc} W^b_\mu W^c_\nu \tag{8}

가 된다. (4) 에 넣어 전개하면 $\partial W \cdot WW$ 형태의 3점 항과 $WWWW$ 형태의 4점 항이 나온다. 두 항의 결합상수가 각각 $g$ 와 $g^2$ 로 같은 $g$ 에 묶여 있다는 점이 중요하다. 자유 매개변수가 늘지 않는다. 대칭이 상호작용의 세기까지 고정한다.

예제 2 · 부호가 뒤집히는 결합상수

3점·4점 꼭짓점은 게이지 보손 자신이 진공편극에 기여하게 만든다. 이 기여는 물질 고리의 기여와 부호가 반대다. 1-루프 베타 함수는

\beta(g) = \mu\frac{\dd g}{\dd\mu} = -\frac{g^3}{16\pi^2}\left(\frac{11}{3}\,C_2(G) - \frac43\,n_f\,T(R)\right) \tag{9}

이다. SU(3) 에서 $C_2(G) = 3$ , 쿼크는 $T(R) = \tfrac12$ 이므로 맛깔 수 $n_f \le 16$ 이면 괄호가 양수, 즉 $\beta$ 가 음수다. 고에너지에서 결합이 0으로 간다는 이 점근적 자유가 1973년에 발견되면서 강한 상호작용의 게이지 이론이 확립되었다 [2,3]. $C_2(G)$ 항이 게이지 보손의 자기상호작용에서만 오므로, (3) 의 비선형 항이 없으면 이 현상도 없다. 세 결합상수가 높은 에너지에서 한 점으로 모일 가능성도 여기서 생긴다.

연습문제

문제 1유도형

(4) 의 두 표현이 (1) 의 규격화 아래에서 일치함을 보이시오.

해설

$F_{\mu\nu} = F^a_{\mu\nu}T^a$ 이므로 $\tr(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}) = F^a_{\mu\nu}F^{b\,\mu\nu}\tr(T^aT^b) = \tfrac12 F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}$ 다. 앞의 $-\tfrac12$ 를 곱하면 $-\tfrac14 F^a F^a$ 가 된다.

흔한 오류는 $\tr(T^aT^b) = \delta^{ab}$ 로 두어 계수를 두 배로 만드는 것이다. 그럴듯한 이유는 직교 기저라면 대각합이 1이 되는 것이 자연스러워 보이기 때문이다. 그러나 $T^a = \sigma^a/2$ 로 잡으면 $\tr(\sigma^a\sigma^b/4) = \tfrac12\delta^{ab}$ 이고, 이 규격화는 임의가 아니라 $f^{abc} = \epsilon^{abc}$ 와 짝을 이룬다. 규격화를 바꾸면 구조상수도 같이 바뀐다.

문제 2계산형

비앙키 항등식 $D_\mu F_{\nu\rho} + D_\nu F_{\rho\mu} + D_\rho F_{\mu\nu} = 0$ 을 야코비 항등식에서 유도하시오.

해설

$F_{\mu\nu} \propto [D_\mu, D_\nu]$ 이므로, 세 개의 공변 미분에 대한 야코비 항등식 $\left[D_\mu,[D_\nu,D_\rho]\right] + \left[D_\nu,[D_\rho,D_\mu]\right] + \left[D_\rho,[D_\mu,D_\nu]\right] = 0$ 을 쓰면 된다. 안쪽 교환자를 $-igF$ 로 바꾸고, 바깥 교환자 $[D_\mu, \cdot]$ 가 딸림표현 위의 공변 미분과 같다는 사실을 쓰면 곧바로 항등식이 나온다.

흔한 오류는 이 식을 (7) 처럼 운동 방정식으로 취급해 "원천이 없을 때만 성립한다"고 말하는 것이다. 그럴듯한 이유는 맥스웰 방정식 네 개가 교과서에서 한 묶음으로 제시되기 때문이다. 그러나 비앙키 항등식은 $F$ 가 $A$ 로부터 정의된다는 사실만 쓰므로 작용이나 원천과 무관하게 항등적으로 성립한다. 자기 홀극이 없다는 진술이 운동 방정식이 아닌 이유가 여기 있다.

문제 3개념 진술형

"양-밀스 이론은 1954년에 나왔지만 20년 가까이 물리적으로 쓸모없다고 여겨졌다." 그 이유 두 가지를 쓰고, 각각이 어떻게 해결되었는지 300자 이내로 밝히시오.

해설

첫째, 게이지 불변이 게이지 보손의 질량을 금지하므로 무질량 게이지 보손이 셋 이상 예측되는데 그런 입자는 관측되지 않았다. 파울리가 양에게 던진 질문이 정확히 이것이었다. 이 문제는 자발적 대칭붕괴와 힉스 기작으로 해결된다.

둘째, 비선형 항 때문에 이론을 재규격화할 수 있는지가 불분명했다. 1971년에 비가환 게이지 이론이 자발적으로 깨진 경우까지 포함해 재규격화 가능함이 증명되면서 해소되었다.

흔한 오류는 첫째 문제를 "질량항을 손으로 넣으면 된다"로 답하는 것이다. 그럴듯한 이유는 프로카 이론이 수학적으로 잘 정의되기 때문이다. 그러나 손으로 넣은 질량은 재규격화 가능성을 망가뜨리고 고에너지에서 산란 진폭의 유니타리성을 깨뜨린다. 질량은 넣는 것이 아니라 얻어져야 한다.

더 읽기

원논문 [1]는 짧고 지금 기호와 거의 같다. 요약을 함께 보라.
비가환 게이지 이론의 양자화와 파인만 규칙은 [4] 16장에 있다.
점근적 자유의 원논문은 [2]과 [3]이다. 현대적 유도는 [5] 26장에 있다.

참고문헌

Yang, C. N. and Mills, R. L. (1954). Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review 96, 191–195. doi:10.1103/PhysRev.96.191
Gross, D. J. and Wilczek, F. (1973). Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories. Physical Review Letters 30, 1343–1346. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1343
Politzer, H. D. (1973). Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?. Physical Review Letters 30, 1346–1349. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
Schwartz, M. D. (2014). Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press.

초고 AI 보조이 글은 초고 작성에 AI 보조를 썼습니다. 수식 유도와 인용은 사람이 확인해야 검토 완료로 올라갑니다.사용 범위

A3-2양-밀스 이론