미분형식과 외미분

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수식 없는 요지

벡터 미적분의 기울기, 회전, 발산은 서로 다른 연산처럼 배우지만 사실 하나의 연산이 차원에 따라 다르게 보인 것이다. 그 하나를 외미분이라 부르고, 외미분이 작용하는 대상을 미분형식이라 부른다. 이 언어로 옮기면 맥스웰 방정식 네 개가 두 줄로 줄고, 그중 한 줄은 아예 항등식이 되어 증명할 것도 없어진다. 좌표를 고르지 않고도 적분과 미분을 다룰 수 있다는 것이 이 언어의 진짜 이득이며, 뒤에 나올 게이지 이론은 처음부터 이 언어로 쓰여 있다.

동기 · 성분 없이 말하기

앞 단원의 지표 표기는 좌표 변환에서 형태가 보존되는 식을 쓰게 해 준다. 그래도 성분은 여전히 남아 있고, 적분을 다룰 때는 부피 요소와 야코비 행렬식을 손으로 챙겨야 한다.

미분형식은 적분되기 위해 만들어진 대상이다. $p$ 형식은 $p$ 차원 영역 위에서 좌표 선택과 무관하게 적분되며, 좌표를 바꾸면 야코비 행렬식이 자동으로 따라 나온다. 그 결과 그린 정리, 발산 정리, 스토크스 정리가 하나의 정리로 합쳐진다.

\int_M \dd\omega = \int_{\partial M} \omega \tag{1}

이 절약이 통일 이론에서 특히 유용한 이유는, 같은 식이 아벨 게이지 이론과 비아벨 게이지 이론에서 형태를 거의 바꾸지 않기 때문이다 [1].

핵심 수식

$p$ 형식은 완전 반대칭 성분을 가진 텐서를 쐐기곱 기저로 적은 것이다. 쐐기곱은 반대칭이라 $\dd x^\mu\wedge \dd x^\nu = -\dd x^\nu\wedge \dd x^\mu$ 이고, 같은 것끼리는 0이 된다.

외미분 $\dd$ 는 $p$ 형식을 $p+1$ 형식으로 보내며 다음 두 성질로 정해진다.

\dd\left(\alpha\wedge\beta\right) = \dd\alpha\wedge\beta + (-1)^p\,\alpha\wedge \dd\beta, \qquad \dd^2 = 0 \tag{2}

전자기 퍼텐셜을 1형식으로 두면 장세기는 그 외미분이다.

A = A_\mu\,\dd x^\mu, \qquad F = \dd A = \tfrac12\,F_{\mu\nu}\,\dd x^\mu\wedge \dd x^\nu \tag{3}

호지 별 $\star$ 는 $p$ 형식을 $n-p$ 형식으로 보낸다. 네 차원에서 2형식은 다시 2형식이 된다. 전류 1형식 $j = j_\mu \dd x^\mu$ 에서 만든 3형식을 $J \equiv \star j$ 라 하면 맥스웰 방정식 전체가 다음 두 줄이다.

\dd F = 0 \tag{4}

\dd \star F = J \tag{5}

부호와 인수는 호지 별의 규약에 따라 달라지므로, 교과서를 옮겨 다닐 때는 $\star$ 의 정의를 먼저 확인해야 한다 [2].

유도 · 두 줄이 네 방정식을 담는 과정

(3) 를 성분으로 풀면 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ 다. 쐐기곱의 반대칭성이 두 항의 상대 부호를 만든다.

이제 (4) 을 성분으로 쓴다. $F$ 가 2형식이므로 $\dd F$ 는 3형식이고, 그 성분은 지표 세 개에 대해 완전 반대칭인 조합이다.

\partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0 \tag{6}

지표 세 개를 모두 공간으로 잡으면 $\nabla\cdot\mathbf B = 0$ 이 되고, 하나를 시간으로 잡으면 패러데이 법칙 $\partial_t\mathbf B + \nabla\times\mathbf E = 0$ 이 된다. 두 방정식이 (4) 한 줄에 들어 있다.

중요한 것은 이 줄이 증명을 필요로 하지 않는다는 점이다. $F = \dd A$ 이므로 (2) 의 $\dd^2 = 0$ 에 의해 $\dd F = \dd^2 A = 0$ 이 항등적으로 성립한다. 퍼텐셜이 존재한다는 가정이 곧 두 방정식이다.

나머지 두 방정식은 (5) 에서 나온다. 성분으로는

\partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu \tag{7}

이고, $\nu = 0$ 이 가우스 법칙, $\nu = i$ 가 앙페르-맥스웰 법칙이다. 이쪽은 항등식이 아니라 작용에서 나오는 운동 방정식이다. 실제로 양-밀스 작용의 아벨 판인 $S = -\tfrac14\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\dd^4x + \int A_\mu j^\mu \dd^4x$ 에 앞 단원의 변분 계산을 적용하면 (7) 이 그대로 나온다.

전하 보존이 따라 나오는 방식도 깔끔하다. (5) 의 양변에 $\dd$ 를 한 번 더 걸면 좌변은 $\dd^2\star F = 0$ 이므로

\dd J = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \partial_\mu j^\mu = 0

이다. 전하 보존은 별도 가정이 아니라 방정식의 구조가 강제하는 조건이다. 원천이 보존되지 않으면 (5) 자체가 모순이 된다.

마지막으로 게이지 대칭도 한 줄이다. $A \to A + \dd\chi$ 로 바꾸면 $F \to F + \dd^2\chi = F$ 이므로 장세기가 그대로다. 같은 $\dd^2 = 0$ 이 비앙키 항등식과 게이지 자유를 동시에 설명한다.

예제 1 · 스토크스 정리로 얻는 가우스 법칙

고정 시각의 3차원 영역 $V$ 에서 (5) 을 적분하고 (1) 을 쓰면

\oint_{\partial V}\star F = \int_V \dd\star F = \int_V J = Q

이다. 좌변은 닫힌 면 위의 전기 다발이고 우변은 그 안의 전하다. 벡터 미적분에서 발산 정리로 따로 증명하던 단계가 일반 스토크스 정리의 특수한 경우로 흡수된다.

예제 2 · 호지 별이 하는 일

네 차원 민코프스키 시공간에서 $\star$ 는 2형식의 전기 성분과 자기 성분을 맞바꾼다. 성분으로 $(\star F)_{\mu\nu} = \tfrac12\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}F^{\alpha\beta}$ 이므로 $\mathbf E \to \mathbf B$ , $\mathbf B \to -\mathbf E$ 다. 원천이 없을 때 맥스웰 방정식 두 줄은 $\dd F = 0$ 과 $\dd\star F = 0$ 으로 완전히 대칭이며, 이 대칭이 곧 전기-자기 쌍대성이다. 전하를 넣는 순간 대칭이 깨지는데, 그것은 자기 홀극이 없다는 경험적 사실이 방정식에 들어간 자리다 [3].

연습문제

문제 1유도형

1형식 $\omega = \omega_\mu \dd x^\mu$ 에 대해 $\dd^2\omega = 0$ 을 성분 계산으로 보이시오.

해설

$\dd\omega = \partial_\nu\omega_\mu\,\dd x^\nu\wedge \dd x^\mu$ 이고 한 번 더 걸면 $\dd^2\omega = \partial_\lambda\partial_\nu\omega_\mu\,\dd x^\lambda\wedge \dd x^\nu\wedge \dd x^\mu$ 이다. 계수 $\partial_\lambda\partial_\nu$ 는 $\lambda$ 와 $\nu$ 의 교환에 대칭이고 기저 $\dd x^\lambda\wedge \dd x^\nu$ 는 반대칭이므로, 앞 단원 연습문제의 논증에 의해 축약이 0이다. 편미분의 교환 가능성과 쐐기곱의 반대칭성이 정확히 상쇄된다.

흔한 오류는 (2) 의 라이프니츠 규칙에서 부호 $(-1)^p$ 를 빠뜨리고 계산하는 것이다. 그럴듯한 이유는 보통의 곱미분에는 이런 부호가 없기 때문이다. 이 부호는 $\dd$ 를 1형식처럼 지나가게 하면서 생기며, 여기서 빠뜨리면 $\dd^2 = 0$ 이 성립하지 않는 잘못된 결과가 나온다.

문제 2계산형

네 차원에서 2형식에 호지 별을 두 번 걸었을 때, 유클리드 계량과 민코프스키 계량에서 결과의 부호가 어떻게 다른지 밝히고 그 물리적 귀결을 말하시오.

해설

$n$ 차원에서 $p$ 형식에 대해 $\star\star = (-1)^{p(n-p)}s$ 이고 $s$ 는 계량 행렬식의 부호다. 네 차원 2형식이면 $(-1)^{4} = +1$ 이므로 부호는 $s$ 가 결정한다. 유클리드에서는 $s = +1$ 이라 $\star\star = +1$ 이고, 민코프스키에서는 $s = -1$ 이라 $\star\star = -1$ 이다.

귀결은 자기쌍대 조건 $F = \star F$ 의 해에서 드러난다. 민코프스키에서 이 식에 $\star$ 를 걸면 $\star F = -F$ 가 되어 $F = 0$ 뿐이고, 실수 장으로는 자기쌍대 배위가 없다. 유클리드에서는 조건이 무모순이라 인스탄톤이라는 유한 작용 해가 존재한다.

흔한 오류는 유클리드 결과를 민코프스키로 그대로 옮기는 것이다. 그럴듯한 이유는 두 계산이 회전만큼만 다르다고 배우기 때문이다. 그러나 계량 행렬식의 부호는 해석 접속으로 연속적으로 바뀌지 않고, 이 한 부호가 인스탄톤이 유클리드 이론의 대상인 이유를 만든다.

문제 3개념 진술형

(4) 은 항등식이고 (5) 은 운동 방정식이다. 이 비대칭이 물리적으로 무엇을 뜻하는지 설명하시오.

해설

(4) 은 $F$ 가 어떤 1형식의 외미분이라는 가정, 곧 퍼텐셜 $A$ 의 존재에서 따라 나온다. 장의 배위가 무엇이든, 작용이 무엇이든 성립한다. 반면 (5) 은 작용을 $A$ 로 변분해서 얻는 식이므로 이론을 바꾸면 달라진다. 실제로 비선형 전기역학이나 비아벨 이론에서는 (5) 이 바뀌지만 (4) 은 형태를 유지한다.

물리적으로 이 비대칭은 자기 홀극이 없다는 진술이다. 자기 전하를 도입하려면 $\dd F = J_{\text{자기}}$ 로 우변을 채워야 하고, 그러면 $F$ 를 전역적으로 $\dd A$ 로 쓸 수 없다. 디랙이 보인 것은 홀극 주위에서 퍼텐셜을 두 조각으로 나누어 정의해야 하며, 두 조각이 맞물리는 조건에서 전하 양자화가 나온다는 사실이다.

흔한 오류는 네 방정식을 대칭적으로 보고 "자기 홀극만 발견되면 이론이 더 대칭이 된다"고 단순화하는 것이다. 그럴듯한 이유는 예제 2에서 본 원천 없는 쌍대성이 실제로 아름답기 때문이다. 그러나 대가가 있다. 퍼텐셜의 전역적 존재를 포기해야 하고, 그 포기가 게이지 이론의 위상수학적 구조를 불러들인다 [4].

더 읽기

형식과 외미분의 정의를 물리학자용으로 정리한 곳은 [1] 5장이다. 호지 별의 규약이 명시되어 있어 부호를 맞추기 좋다.
상대론 맥락의 짧은 도입은 [2] 2.9절이다. 지표 표기와 형식 표기를 나란히 놓고 비교한다.
전기-자기 쌍대성과 홀극이 통일 이론에서 맡는 역할은 [3] 4부에서 볼 수 있다.

참고문헌

Nakahara, M. (2003). Geometry, Topology and Physics. Institute of Physics Publishing, 2판.
Carroll, S. M. (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley.
Zee, A. (2016). Group Theory in a Nutshell for Physicists. Princeton University Press.
Wald, R. M. (1984). General Relativity. University of Chicago Press.

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A0-3미분형식과 외미분