군과 표현

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수식 없는 요지

대칭은 "무엇을 해도 달라지지 않는다"는 말이고, 할 수 있는 조작들을 모아 놓은 것이 군이다. 군 자체는 추상적인 규칙 묶음이므로, 물리에 쓰려면 그 조작들을 실제 행렬로 바꾸어 주어야 한다. 그 번역을 표현이라 부르고, 입자의 종류는 표현으로 분류된다. 이 단원은 회전이라는 가장 익숙한 대칭에서 서로 다른 두 군이 나타난다는 사실을 보인다. 전자가 한 바퀴 돌았을 때 원래대로 돌아오지 않는 이유가 여기에 있다.

동기 · 입자 목록은 표현 목록이다

표준모형의 입자표는 임의의 목록이 아니다. 각 입자는 게이지 군의 어떤 표현에 속하는지로 정의되며, 쿼크가 세 색을 갖는다는 말은 그것이 색 대칭군의 3차원 표현에 있다는 뜻이다. 전하값, 스핀, 세대 구조가 모두 표현 지정으로 환원된다.

통일이 무엇을 뜻하는지도 여기서 정확해진다. 서로 다른 군의 표현으로 흩어져 있던 입자들을 더 큰 군 하나의 한 표현 안에 넣는 일이 통일이다. 그러려면 군과 표현을 다루는 문법이 먼저 있어야 한다 [1].

핵심 수식

군 $G$ 의 표현은 군 곱셈을 행렬 곱셈으로 옮기는 사상 $D$ 다.

D(g_1)\,D(g_2) = D(g_1 g_2), \qquad D(e) = \mathbb 1 \tag{1}

이 조건 하나가 표현의 전부다. 부분공간으로 더 쪼갤 수 없는 표현을 기약 표현이라 하고, 입자는 기약 표현에 대응한다.

회전과 관련된 두 군은 다음과 같다. $SO(3)$ 은 $R^{\mathsf T}R = \mathbb 1$ 과 $\det R = 1$ 을 만족하는 실수 $3\times 3$ 행렬의 군이고, $SU(2)$ 는 $U^\dagger U = \mathbb 1$ 과 $\det U = 1$ 을 만족하는 복소 $2\times 2$ 행렬의 군이다. $SU(2)$ 원소는 파울리 행렬로 다음과 같이 쓰인다.

U(\boldsymbol\theta) = \exp\!\left(-\tfrac{i}{2}\,\theta^a\sigma^a\right) \tag{2}

두 군을 잇는 사상은 다음 한 줄이다.

R^{ab}(U) = \tfrac12\,\tr\!\left(\sigma^a\,U\,\sigma^b\,U^\dagger\right) \tag{3}

유도 · SU(2)에서 SO(3)로

(3) 이 실제로 회전 행렬을 준다는 것을 네 단계로 확인한다.

첫째, $U\sigma^b U^\dagger$ 는 대각합이 0인 에르미트 행렬이다. 대각합은 순환성으로 $\tr\sigma^b = 0$ 과 같고, 에르미트성은 $U^\dagger$ 와 $U$ 의 위치가 맞물려 유지된다. 그런 $2\times 2$ 행렬은 파울리 행렬 세 개로 전개되므로

U\,\sigma^b\,U^\dagger = \sigma^a\,R^{ab} \tag{4}

로 쓸 수 있고, 양변에 $\sigma^c$ 를 곱해 대각합을 취하면 $\tr(\sigma^a\sigma^c) = 2\delta^{ac}$ 에 의해 계수가 (3) 과 같음을 얻는다.

둘째, $R^{ab}$ 는 실수다. 복소켤레를 취하면 에르미트 행렬의 대각합이라 값이 자기 자신과 같다.

셋째, $R$ 은 직교행렬이다. (4) 를 두 번 써서

2\delta^{bc} = \tr\!\left(\sigma^b\sigma^c\right) = \tr\!\left(U\sigma^b U^\dagger\,U\sigma^c U^\dagger\right) = R^{ab}R^{dc}\,\tr\!\left(\sigma^a\sigma^d\right) = 2\,R^{ab}R^{ac}

이므로 $R^{\mathsf T}R = \mathbb 1$ 이다. 여기서 $U^\dagger U = \mathbb 1$ 이 결정적으로 쓰인다.

넷째, $\det R = 1$ 이다. $SU(2)$ 는 연결된 군이라 항등원에서 연속적으로 갈 수 있고, $\det R$ 은 $\pm 1$ 값만 가지는 연속함수이므로 항등원에서의 값 $+1$ 이 끝까지 유지된다.

이제 핵심이다. (3) 의 우변에는 $U$ 가 두 번 들어가므로 $U$ 와 $-U$ 가 같은 $R$ 을 준다. 사상의 핵은 모든 $\sigma^a$ 와 교환하는 행렬, 곧 항등행렬의 배수 중 행렬식이 1인 것이므로 $\lbrace \mathbb 1, -\mathbb 1\rbrace$ 이다.

SO(3) \;\cong\; SU(2)/\mathbb Z_2 \tag{5}

이 이대일 관계를 눈으로 보려면 (2) 에서 $\boldsymbol\theta$ 를 한 축 방향으로 $2\pi$ 만큼 키우면 된다. 공간의 회전은 제자리로 돌아오지만 $U$ 는 $-\mathbb 1$ 이 된다. $4\pi$ 에서야 $U$ 도 항등원이 된다.

따라서 $SU(2)$ 는 $SO(3)$ 의 이중 덮개이고, 두 군의 리대수는 같지만 군으로서는 다르다. 리대수는 항등원 근처만 보는 도구라 전역 구조를 구분하지 못한다 [2].

예제 1 · 반정수 스핀은 왜 SO(3)의 표현이 아닌가

$su(2)$ 의 기약 표현은 $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$ 로 이름 붙고 차원은 $2j+1$ 이다. 이 가운데 $j$ 가 정수인 것만 $SO(3)$ 의 표현이 된다. 반정수 표현에서는 $2\pi$ 회전이 $-\mathbb 1$ 로 작용해 (1) 의 첫 조건을 깨기 때문이다. 같은 회전에 두 행렬이 대응하므로 표현이 아니라 사영 표현이다.

이것은 형식적인 흠이 아니다. 상태 벡터에 붙은 전체 부호는 관측되지 않지만, 스피너를 다른 경로로 보낸 뒤 겹치면 상대 위상은 관측된다. 중성자 간섭계에서 $2\pi$ 회전이 간섭 무늬를 뒤집는 것이 그 확인이다.

예제 2 · 두 스피너의 결합

$SU(2)$ 의 2차원 표현 두 개를 곱하면 네 차원 공간이 되고, 이것은 다음과 같이 쪼개진다.

\mathbf 2\otimes\mathbf 2 = \mathbf 3\oplus\mathbf 1 \tag{6}

대칭 조합 세 개가 스핀 1, 반대칭 조합 하나가 스핀 0이다. 반대칭 조합 $\epsilon^{\alpha\beta}$ 가 불변 텐서라는 사실이 홀로 특별한데, 이 때문에 $SU(2)$ 에서는 표현과 그 켤레 표현이 동치다. 같은 계산을 $SU(3)$ 에서 하면 $\mathbf 3$ 과 $\bar{\mathbf 3}$ 이 구분되고, 그 차이가 쿼크와 반쿼크를 가른다 [3].

연습문제

문제 1계산형

(2) 에서 $\boldsymbol\theta = (0,0,\theta)$ 로 두고 $U$ 를 명시적으로 계산한 뒤, $\theta = 2\pi$ 와 $\theta = 4\pi$ 에서의 값을 구하시오.

해설

$\sigma^3$ 이 대각이므로 지수함수도 대각이다. $U = \mathrm{diag}\left(e^{-i\theta/2},\, e^{i\theta/2}\right)$ 이고, $\theta = 2\pi$ 에서 $\mathrm{diag}(e^{-i\pi}, e^{i\pi}) = -\mathbb 1$ , $\theta = 4\pi$ 에서 $+\mathbb 1$ 이다. (3) 에 넣으면 두 경우 모두 $R = \mathbb 1$ 이므로 공간 회전으로는 구분되지 않는다.

지수 안의 $1/2$ 이 이 결과를 만든다. 스피너가 반각으로 회전하기 때문에 한 바퀴에 부호가 남는다.

흔한 오류는 $-\mathbb 1$ 을 계산 실수로 보고 부호를 고쳐 쓰는 것이다. 그럴듯한 이유는 $2\pi$ 회전이 아무것도 하지 않는다는 기하학적 직관이 강하기 때문이다. 그러나 이 부호는 (5) 의 핵 그 자체이며, 없애려 하면 반정수 스핀을 통째로 버려야 한다.

문제 2유도형

(4) 를 써서 $R(U_1 U_2) = R(U_1)R(U_2)$ 를 보이고, 이것이 왜 $R$ 을 표현이라 부를 근거인지 설명하시오.

해설

(4) 를 $U_2$ 에 먼저 적용하고 그 결과에 $U_1$ 을 적용한다. $U_1 U_2 \sigma^b U_2^\dagger U_1^\dagger = U_1\left(\sigma^c R^{cb}(U_2)\right)U_1^\dagger = \sigma^a R^{ac}(U_1)R^{cb}(U_2)$ 이고, 왼쪽은 정의상 $\sigma^a R^{ab}(U_1U_2)$ 이다. 파울리 행렬이 일차독립이므로 계수를 비교해 $R(U_1U_2) = R(U_1)R(U_2)$ 를 얻는다. 이것이 (1) 의 조건이므로 $R$ 은 $SU(2)$ 의 3차원 실수 표현이고, 이를 수반 표현이라 부른다.

흔한 오류는 켤레 연산의 순서를 뒤집어 $U_2 U_1$ 로 두는 것이다. 그럴듯한 이유는 두 행렬을 곱하는 순서가 습관적으로 바뀌기 때문인데, 여기서 뒤집으면 $R$ 이 반표현이 되어 (1) 을 만족하지 않는다. 켤레 작용에서는 안쪽과 바깥쪽의 순서가 그대로 곱셈 순서로 옮겨진다는 점을 확인해 두어야 한다.

문제 3개념 진술형

" $SU(2)$ 와 $SO(3)$ 은 같은 리대수를 가지므로 사실상 같은 군이다"라는 주장의 문제를 지적하시오.

해설

리대수는 항등원 근방의 무한소 구조만 담는다. (5) 이 말하듯 두 군은 국소적으로 동형이지만 전역적으로 다르다. $SU(2)$ 는 단순연결이고 $SO(3)$ 은 그렇지 않아서, 후자에는 되돌릴 수 없는 고리가 있다. 이 차이가 반정수 스핀의 존재 여부를 가른다.

물리적 귀결도 분명하다. 게이지 군이 $SU(2)$ 인지 $SO(3)$ 인지에 따라 허용되는 물질 표현의 목록이 달라지고, 자기 홀극 같은 위상 결함의 유무도 달라진다. 대통일 이론에서 $SU(5)$ 와 $SU(5)/\mathbb Z_5$ 중 어느 쪽인지가 문제가 되는 것도 같은 이유다.

흔한 오류는 리대수만 보고 군을 특정하는 것이다. 그럴듯한 이유는 물리 계산의 대부분, 특히 섭동 계산이 무한소 변환만 쓰기 때문이다. 파인만 규칙은 구조상수만 보므로 두 군을 구분하지 않는다. 구분이 필요해지는 것은 위상수학적 배위나 표현 목록을 따질 때이며, 통일 이론은 정확히 그 지점에서 전역 구조를 요구한다 [4].

더 읽기

물리학자를 위한 군론 입문으로 [1] 1~2부가 가장 가깝다. 예제가 모두 장이론으로 이어진다.
대칭군과 상태공간의 관계를 공리에서 세우는 서술은 [2] 2장이다. 사영 표현이 왜 허용되는지 여기서 정확히 다룬다.
군의 위상수학적 구조와 물리의 관계는 [4] 4~5장에 있다.

참고문헌

Zee, A. (2016). Group Theory in a Nutshell for Physicists. Princeton University Press.
Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields, Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press.
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
Nakahara, M. (2003). Geometry, Topology and Physics. Institute of Physics Publishing, 2판.

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A0-4군과 표현