리대수 실전

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수식 없는 요지

군의 원소는 연속적으로 무한히 많지만, 항등원 근처만 보면 유한 개의 방향으로 정리된다. 그 방향들을 생성자라 부르고, 두 방향을 교차로 적용했을 때 어떤 방향이 남는지를 적은 표가 구조상수다. 이 유한한 표 하나가 군의 국소 구조를 전부 담으며, 게이지 이론의 상호작용 세기와 입자들의 결합 방식도 여기서 결정된다. 이 단원은 강한 상호작용과 약한 상호작용에 실제로 쓰이는 두 리대수의 표를 손으로 만들어 본다.

동기 · 유한한 표로 무한한 군을 다루기

앞 단원에서 군은 표현으로 물리에 들어온다고 했다. 그런데 연속군의 표현을 직접 다루려면 무한히 많은 원소에 행렬을 대응시켜야 한다. 실제 계산은 그렇게 하지 않는다. 항등원 근처의 무한소 변환만 보면 지수함수가 나머지를 복원해 주기 때문이다.

이 단원의 표는 장식이 아니라 계산 도구다. 양-밀스 작용의 삼중 결합과 사중 결합 꼭짓점 계수가 구조상수로 직접 쓰이고, 강한 상호작용의 점근 자유성을 주는 계수에도 카시미르 값이 들어간다 [1].

핵심 수식

생성자 $T^a$ 는 교환자 아래에서 닫힌다. 이 닫힘 관계의 계수가 구조상수 $f^{abc}$ 다.

\left[T^a, T^b\right] = i f^{abc}\,T^c \tag{1}

구조상수의 값은 생성자의 규격화에 의존하므로, 기본 표현에서 다음 규격화를 고정해 두고 쓴다.

\tr\!\left(T^a T^b\right) = \tfrac12\,\delta^{ab} \tag{2}

$su(2)$ 는 $T^a = \sigma^a/2$ 이고 구조상수가 완전 반대칭 기호다.

f^{abc}_{su(2)} = \epsilon^{abc} \tag{3}

$su(3)$ 은 $T^a = \lambda^a/2$ 이며 $\lambda^a$ 는 겔만 행렬 여덟 개다. 0이 아닌 독립 구조상수는 다음과 같다.

f^{123} = 1, \quad f^{147} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = \tfrac12, \quad f^{156} = f^{367} = -\tfrac12, \quad f^{458} = f^{678} = \tfrac{\sqrt3}{2} \tag{4}

유도 · 구조상수에서 수반 표현까지

먼저 구조상수를 직접 뽑는 공식을 만든다. (1) 의 양변에 $T^c$ 를 곱하고 대각합을 취한 뒤 (2) 을 쓰면

f^{abc} = -2i\,\tr\!\left(\left[T^a, T^b\right] T^c\right) \tag{5}

이다. 이 한 줄이 계산의 출발점이다. 겔만 행렬을 대입해 하나씩 돌리면 (4) 이 그대로 나온다.

(5) 은 두 가지 성질도 바로 준다. 생성자가 에르미트이므로 $\left[T^a,T^b\right]$ 는 반에르미트이고, 앞의 $-2i$ 가 그 허수를 상쇄해 $f^{abc}$ 는 실수다. 또 대각합의 순환성 때문에 $f^{abc}$ 는 지표의 순환 치환에 불변이고, (1) 에서 $a$ 와 $b$ 의 교환에 반대칭이므로 결국 세 지표 전체에 대해 완전 반대칭이다. 완전 반대칭성은 (2) 의 규격화가 모든 $a$ 에 대해 같은 상수를 줄 때만 성립한다.

다음은 야코비 항등식이다. 교환자의 정의를 풀어 쓰면 항등적으로

\left[T^a,\left[T^b,T^c\right]\right] + \left[T^b,\left[T^c,T^a\right]\right] + \left[T^c,\left[T^a,T^b\right]\right] = 0 \tag{6}

이 성립한다. 여기에 (1) 을 두 번 넣으면 구조상수만의 관계가 남는다.

f^{bcd}f^{ade} + f^{cad}f^{bde} + f^{abd}f^{cde} = 0 \tag{7}

이제 (7) 을 다시 읽는다. 행렬을 $\left(T^a_{\text{adj}}\right)^{bc} \equiv -i f^{abc}$ 로 정의하면 (7) 은 정확히 $\left[T^a_{\text{adj}}, T^b_{\text{adj}}\right] = i f^{abc} T^c_{\text{adj}}$ 를 뜻한다. 즉 구조상수 자신이 리대수의 표현을 만든다. 이것을 수반 표현이라 하고 차원은 생성자의 개수와 같다. $su(2)$ 에서는 3차원, $su(3)$ 에서는 8차원이다.

물리적으로 이 사실이 중요한 이유는 게이지 보손이 언제나 수반 표현에 놓이기 때문이다. 글루온이 여덟 개인 것과 $su(3)$ 의 생성자가 여덟 개인 것은 같은 사실의 두 표현이다. 아벨 이론에서는 $f^{abc} = 0$ 이라 수반 표현이 자명하고, 그래서 광자는 자기 자신과 상호작용하지 않는다 [2].

마지막으로 모든 생성자와 교환하는 카시미르 연산자 $C_2 = T^aT^a$ 를 둔다. 기약 표현 위에서 이 값은 상수이며, $SU(N)$ 의 기본 표현에서는 $(N^2-1)/2N$ , 수반 표현에서는 $N$ 이다.

예제 1 · su(2) 사다리 연산자

$T^\pm = T^1 \pm i T^2$ 로 두면 (3) 에서

\left[T^3, T^\pm\right] = \pm\,T^\pm, \qquad \left[T^+, T^-\right] = 2T^3 \tag{8}

를 얻는다. 첫 식은 $T^\pm$ 가 $T^3$ 의 고윳값을 1씩 올리고 내린다는 뜻이다. 표현이 유한 차원이면 사다리가 위아래에서 끊겨야 하고, 그 조건에서 최고 고윳값 $j$ 가 정수 또는 반정수임과 차원이 $2j+1$ 임이 따라 나온다. 표현 목록 전체가 (8) 에서 나온다.

예제 2 · su(3)의 구조를 읽는 법

$su(3)$ 에서 서로 교환하는 생성자는 $T^3$ 과 $T^8$ 두 개뿐이다. 이 최대 개수를 계수라 하고, 상태를 두 고윳값의 짝으로 이름 붙일 수 있다. 기본 표현 $\mathbf 3$ 의 세 상태를 평면에 찍으면 정삼각형이 되고, 수반 표현 $\mathbf 8$ 은 육각형에 중심 두 겹이 얹힌 모양이 된다.

(4) 을 보면 $su(3)$ 안에 $su(2)$ 가 여러 개 들어 있는 것도 보인다. $(1,2,3)$ 이 하나의 $su(2)$ 를 이루고, $(4,5)$ 와 $(6,7)$ 을 각각 축으로 삼는 조합도 $su(2)$ 를 만든다. 아이소스핀, U-스핀, V-스핀이라 부르는 이 세 부분대수가 강입자 다중항을 분류하는 도구였다 [3].

연습문제

문제 1계산형

겔만 행렬의 처음 세 개는 파울리 행렬을 왼쪽 위 $2\times 2$ 블록에 넣고 나머지를 0으로 채운 것이다. 이를 써서 $f^{123}$ 을 계산하고, 같은 방식으로 $f^{147}$ 을 계산할 때 무엇이 달라지는지 말하시오.

해설

$T^{1,2,3} = \sigma^{1,2,3}/2$ 가 블록 안에 갇혀 있으므로 교환자도 블록 안에서 닫힌다. $\left[T^1,T^2\right] = iT^3$ 이고 (5) 에 넣으면 $f^{123} = 1$ 이다. $su(2)$ 와 완전히 같다.

$f^{147}$ 은 다르다. $\lambda^4$ 와 $\lambda^7$ 은 1행 3열과 2행 3열 자리를 쓰므로 교환자가 블록 밖으로 나가고, 결과가 $\lambda^1$ 방향으로 절반만 투영된다. 그래서 $f^{147} = 1/2$ 이다.

흔한 오류는 $f^{123} = 1$ 을 본 뒤 $su(3)$ 의 구조상수가 모두 $0$ 또는 $\pm 1$ 이라고 넘겨짚는 것이다. 그럴듯한 이유는 $su(2)$ 의 $\epsilon^{abc}$ 가 그런 모양이고, 겔만 행렬의 앞 세 개가 파울리 행렬과 같아 보이기 때문이다. 그러나 (2) 을 여덟 생성자 전부에 대해 같은 값으로 맞추면 $1/2$ 과 $\sqrt3/2$ 가 반드시 나타난다. $\lambda^8$ 이 대각이면서 대각합이 0이어야 한다는 조건이 $\sqrt3$ 을 부른다.

문제 2유도형

(6) 에서 (7) 을 유도하고, 그 결과가 수반 표현이 표현임을 어떻게 보장하는지 설명하시오.

해설

(6) 의 첫 항에 (1) 을 안쪽부터 적용하면 $\left[T^a, if^{bcd}T^d\right] = i f^{bcd}\cdot i f^{ade}T^e = -f^{bcd}f^{ade}T^e$ 다. 나머지 두 항도 지표를 순환시켜 같은 꼴로 만들고 더하면 $T^e$ 의 계수가 0이어야 하므로 (7) 이 나온다.

$\left(T^a_{\text{adj}}\right)^{bc} = -i f^{abc}$ 로 두고 교환자를 계산하면 항이 두 개 나오는데, (7) 이 그 차이를 $i f^{abd}\left(T^d_{\text{adj}}\right)^{ce}$ 로 정리해 준다. 즉 수반 행렬들이 원래 생성자와 같은 교환 관계를 만족하므로 표현의 정의를 만족한다.

흔한 오류는 야코비 항등식을 리대수에 추가로 부과한 공리로 보는 것이다. 그럴듯한 이유는 교과서가 리대수의 공리 목록에 야코비 항등식을 나란히 적기 때문이다. 그러나 생성자가 결합적인 행렬 곱으로 실현되어 있으면 (6) 은 교환자를 풀어 쓰는 것만으로 성립하는 항등식이다. 공리로 적는 이유는 행렬로 실현되지 않은 추상적 리대수까지 다루기 위해서다.

문제 3계산형

$SU(3)$ 의 기본 표현과 수반 표현의 카시미르 값을 각각 구하고, 두 값이 어디에 쓰이는지 말하시오.

해설

기본 표현은 $(N^2-1)/2N$ 에 $N=3$ 을 넣어 $4/3$ 이고, 수반 표현은 $N = 3$ 이다. 첫 값은 쿼크가 글루온을 내놓는 과정의 세기에, 둘째 값은 글루온의 자체 상호작용에 들어간다. 점근 자유성을 주는 베타 함수의 첫 계수 $-\left(11N/3 - 2n_f/3\right)$ 에서 $11N/3$ 항이 수반 카시미르에서 오고, $n_f$ 항이 기본 표현 쿼크 고리에서 온다.

흔한 오류는 두 값을 뒤섞어 글루온 고리에 $4/3$ 을 쓰는 것이다. 그럴듯한 이유는 쿼크 계산을 먼저 배우고 그 인수를 익숙하게 기억하기 때문이다. 판별법은 간단하다. 고리를 도는 입자가 어느 표현에 있는지 보면 되고, 색을 가진 것이 글루온이면 수반 표현이다. 이 구분을 놓치면 부호까지 뒤집혀 점근 자유성이 사라진 결론이 나온다 [1].

더 읽기

겔만 행렬과 구조상수 표는 [1] 부록과 15장에 정리되어 있다. 계산할 때 곁에 두기 좋다.
가중치와 근계로 리대수를 분류하는 관점은 [3] 4~5부에 있다. 대통일에서 표현을 고르는 작업이 이 언어로 이루어진다.
리대수와 리군의 관계를 기하학적으로 다시 보려면 [4] 5장이 이어진다.

참고문헌

Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
Srednicki, M. (2007). Quantum Field Theory. Cambridge University Press.
Zee, A. (2016). Group Theory in a Nutshell for Physicists. Princeton University Press.
Nakahara, M. (2003). Geometry, Topology and Physics. Institute of Physics Publishing, 2판.

초고 AI 보조이 글은 초고 작성에 AI 보조를 썼습니다. 수식 유도와 인용은 사람이 확인해야 검토 완료로 올라갑니다.사용 범위

A0-5리대수 실전