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트랙 A 물리학 · A1 고전 장이론

A1-8아인슈타인-힐베르트 작용

곡률 스칼라 하나로 이루어진 작용을 계량으로 변분해 아인슈타인 방정식을 얻고, 중력이 장이론의 한 사례이면서도 왜 다른 힘들과 같은 방식으로 양자화되지 않는지 확인한다.

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수식 없는 요지

앞 단원에서 중력은 시공간의 휘어짐이 되었다. 남은 물음은 무엇이 시공간을 휘게 하는가이다. 이 단원은 그 답을 다른 모든 장이론과 똑같은 방식으로 얻는다. 작용을 하나 쓰고, 최소작용 원리를 적용하고, 나오는 방정식을 읽는다. 다른 점은 변분하는 대상이 시공간에 얹힌 장이 아니라 시공간의 모양 자체라는 것뿐이다. 이렇게 보면 중력은 장이론의 예외가 아니라 한 사례가 되지만, 결합상수가 차원을 가진다는 한 가지 특징 때문에 양자 이론으로 올라갈 때 다른 힘들과 전혀 다른 문제가 생긴다.

동기 · 방정식을 추측이 아니라 유도로

아인슈타인은 장 방정식을 여러 해에 걸쳐 시행착오로 찾았다. 물질의 에너지-운동량 텐서가 원천이어야 하고, 좌변은 계량의 2계 미분까지만 포함하며, 뉴턴 극한을 재현하고, 보존 법칙과 무모순이어야 한다는 조건들을 하나씩 맞추는 방식이었다.

힐베르트는 같은 방정식을 다른 길로 얻었다. 스칼라 하나를 적분한 작용을 쓰고 변분한 것이다. 이 길이 더 나은 이유는 세 가지다. 첫째, 좌변의 보존 ∇μGμν=0\nabla_\mu G^{\mu\nu} = 0 이 비안키 항등식에서 자동으로 따라오므로 따로 맞출 필요가 없다. 둘째, 왜 그 방정식이어야 하는지를 "쓸 수 있는 항이 그것뿐"이라는 형태로 답할 수 있다. 셋째, 물질과 중력이 같은 작용 원리 아래 놓이므로 결합이 일의적으로 정해진다 [1].

핵심 수식

작용은 곡률 스칼라 R=gμνRμνR = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} 하나로 이루어진다.

S=116πG∫d4x −g (R−2Λ)+S물질(1)S = \frac{1}{16\pi G}\int \dd^4x\,\sqrt{-g}\,\big(R - 2\Lambda\big) + S_{\text{물질}} \tag{1}

계량으로 변분하면 아인슈타인 방정식이 나온다.

Rμν−12R gμν+Λgμν=8πG Tμν(2)R_{\mu\nu} - \tfrac12 R\,g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 8\pi G\,T_{\mu\nu} \tag{2}

여기서 물질의 에너지-운동량 텐서는 계량에 대한 변분으로 정의한다.

Tμν=−2−g δS물질δgμν(3)T_{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-g}}\,\frac{\delta S_{\text{물질}}}{\delta g^{\mu\nu}} \tag{3}

유도 · 생략 없이

왜 이 작용인가

−g\sqrt{-g} 는 부피 요소다. 좌표를 바꾸면 d4x\dd^4x 가 야코비안만큼 변하는데 −g\sqrt{-g} 가 그 역수로 변하므로 곱이 불변이다. 안에 들어갈 스칼라 후보를 차원 순으로 늘어놓으면 상수, RR, 그다음이 R2R^2 과 RμνRμνR_{\mu\nu}R^{\mu\nu} 같은 2차 항이다.

  • 상수 항은 우주상수 Λ\Lambda 다. 금지할 이유가 없으므로 써야 하고, 실제로 관측된다.
  • RR 은 계량의 2계 미분을 포함하며 이것이 최소한의 동역학 항이다.
  • 2차 항들은 4계 방정식을 낳는다. 앞 단원들에서 본 안정성 문제가 되살아나므로 저에너지 이론에서는 배제한다. 러브록 정리는 4차원에서 계량의 2계 미분까지만 포함하는 방정식을 주는 항이 Λ\Lambda 와 RR 뿐임을 증명한다.

즉 (1) 은 추측이 아니라 요구 조건을 통과한 유일한 후보다 [2].

변분의 세 조각

δ(−g gμνRμν)\delta(\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}) 를 세 조각으로 나눈다.

첫째, 행렬식의 변분이다. ln⁡det⁡M=tr⁡ln⁡M\ln\det M = \tr\ln M 을 변분하면 δg=g gμνδgμν=−g gμνδgμν\delta g = g\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} = -g\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} 이므로

δ−g=−12−g gμν δgμν(4)\delta\sqrt{-g} = -\tfrac12\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\,\delta g^{\mu\nu} \tag{4}

이다. 마지막 등호에서 gμνgνλ=δλμg^{\mu\nu}g_{\nu\lambda} = \delta^\mu_\lambda 를 변분해 얻는 δgμν=−gμαgνβδgαβ\delta g_{\mu\nu} = -g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}\delta g^{\alpha\beta} 를 썼다.

둘째, gμνg^{\mu\nu} 자체의 변분은 RμνδgμνR_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} 를 준다.

셋째, δRμν\delta R_{\mu\nu} 다. 팔라티니 항등식에 따르면 δRμν=∇λ(δΓλμν)−∇ν(δΓλμλ)\delta R_{\mu\nu} = \nabla_\lambda(\delta\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}) - \nabla_\nu(\delta\Gamma^\lambda{}_{\mu\lambda}) 이고, δΓ\delta\Gamma 는 두 접속의 차이라서 텐서다. 따라서 이 조각은 gμνδRμν=∇μvμg^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu} = \nabla_\mu v^\mu 형태의 전체 미분이 되어 경계항으로 빠진다.

세 조각을 합치면

δS=116πG∫d4x −g [Rμν−12Rgμν+Λgμν]δgμν+δS물질\delta S = \frac{1}{16\pi G}\int \dd^4x\,\sqrt{-g}\,\left[R_{\mu\nu} - \tfrac12 R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}\right]\delta g^{\mu\nu} + \delta S_{\text{물질}}

이고, (3) 의 정의를 쓰면 (2) 이 나온다.

경계항에 관한 단서

앞 단원들에서는 경계항을 "경계에서 변분이 0"이라는 조건으로 버렸다. 중력에서는 그것으로 부족하다. δΓ\delta\Gamma 에 계량의 법선 방향 미분이 들어 있어서, 경계에서 δgμν=0\delta g^{\mu\nu} = 0 만으로는 사라지지 않는다. 그래서 (1) 에 기번스-호킹 경계항을 더해야 변분 문제가 제대로 닫힌다. 블랙홀 엔트로피를 작용에서 계산할 때 실제로 기여하는 것이 이 항이다 [1].

왜 TμνT_{\mu\nu} 가 원천인가

(3) 의 정의는 뇌터 정리가 준 정준 텐서와 형태가 다르다. 그러나 앞 단원에서 본 벨린판테 개선을 마친 텐서와 일치한다. 계량에 대한 변분으로 정의하면 대칭성과 게이지 불변성이 자동으로 따라온다는 점이 이 정의의 장점이다.

좌변의 보존은 선택이 아니다. 비안키 항등식 ∇μGμν=0\nabla_\mu G^{\mu\nu} = 0 이 기하학적으로 성립하므로, (2) 은 ∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0 을 강제한다. 물질의 운동 방정식이 중력 방정식에 이미 들어 있다는 뜻이며, 이 점이 중력을 다른 힘과 구별한다.

예제 1 · 우주상수의 크기

(2) 에서 Λ\Lambda 항을 우변으로 옮기면 TμνΛ=−Λ8πGgμνT^{\Lambda}_{\mu\nu} = -\frac{\Lambda}{8\pi G}g_{\mu\nu} 가 되어 p=−ρp = -\rho 인 완전 유체처럼 행동한다. 앞 단원의 스칼라장 계산에서 퍼텐셜이 지배할 때 나온 상태 방정식과 같다.

관측된 값은 ρΛ∼10−47 GeV4\rho_\Lambda \sim 10^{-47}\,\mathrm{GeV}^4 이다. 한편 장이론의 진공 에너지를 플랑크 척도까지 잘라 계산하면 1074 GeV410^{74}\,\mathrm{GeV}^4 정도가 나온다. 120 자릿수의 불일치가 우주상수 문제이며, 이것은 계산 실수가 아니라 유효 이론의 자연스러움에 관한 문제다.

예제 2 · 결합상수의 차원

(1) 에서 RR 의 질량 차원은 2이고 d4x\dd^4x 는 −4-4 이므로, 작용이 무차원이려면 1/G1/G 의 차원이 2여야 한다. 즉 G∼1/MPl2G \sim 1/M_{\text{Pl}}^2 이고 MPl∼1019 GeVM_{\text{Pl}} \sim 10^{19}\,\mathrm{GeV} 다.

차원을 가진 결합상수는 고에너지에서 전개가 무너진다는 신호다. 중력 산란 진폭은 E2/MPl2E^2/M_{\text{Pl}}^2 으로 커지고, 고리 계산마다 새로운 발산 구조가 나타나 유한개의 매개변수로 흡수되지 않는다. 전자기 이론이나 양-밀스 이론의 무차원 결합과 대비되는 지점이며, 중력의 양자화가 왜 다른 종류의 문제인지에 대한 가장 짧은 답이다.

그렇다고 (1) 이 쓸모없는 것은 아니다. 플랑크 척도보다 훨씬 낮은 에너지에서 중력은 잘 작동하는 유효 이론이며, 중력자 교환의 양자 보정도 계산할 수 있다 [3]. 통일을 향한 여러 시도 가운데 하나인 칼루차-클라인 접근은 여분 차원의 계량 성분에서 게이지장을 끌어내려 했고 [4], 그 계보가 뒤 모듈의 주제가 된다 [5].

연습문제

문제 1유도형

(4) 을 유도하고, 이것이 왜 12Rgμν\tfrac12 R g_{\mu\nu} 항의 출처인지 밝히시오.

해설

δln⁡det⁡g=tr⁡(g−1δg)=gμνδgμν\delta\ln\det g = \tr(g^{-1}\delta g) = g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} 이므로 δg=g gμνδgμν\delta g = g\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} 이고, −g\sqrt{-g} 의 변분은 그 절반이다. δgμν\delta g_{\mu\nu} 를 δgμν\delta g^{\mu\nu} 로 바꾸면 부호가 뒤집혀 (4) 이 된다.

이 조각이 −g\sqrt{-g} 앞에 곱해진 RR 과 만나 −12Rgμνδgμν-\tfrac12 R g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} 를 낳는다. 즉 아인슈타인 텐서의 두 번째 항은 곡률에서 오는 것이 아니라 부피 요소에서 온다.

흔한 오류는 δgμν=gμαgνβδgαβ\delta g^{\mu\nu} = g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\beta} 로 부호 없이 지표를 올리는 것이다. 텐서의 지표를 계량으로 올리는 일이 늘 그렇게 되므로 그럴듯하지만, δgμν\delta g^{\mu\nu} 는 텐서 gμνg^{\mu\nu} 의 변분이지 δgμν\delta g_{\mu\nu} 의 지표를 올린 것이 아니다. 부호 하나를 놓치면 아인슈타인 방정식의 두 항이 같은 부호로 나온다.

문제 2계산형

(2) 의 양변에 gμνg^{\mu\nu} 를 축약해 대각합 형태를 구하고, 그것을 써서 진공에서 Λ=0\Lambda = 0 일 때 Rμν=0R_{\mu\nu} = 0 임을 보이시오.

해설

축약하면 R−2R+4Λ=8πG TR - 2R + 4\Lambda = 8\pi G\,T 이므로 R=4Λ−8πG TR = 4\Lambda - 8\pi G\,T 다. 진공 Tμν=0T_{\mu\nu} = 0 과 Λ=0\Lambda = 0 에서 R=0R = 0 이고, 이를 (2) 에 되돌리면 Rμν=0R_{\mu\nu} = 0 이다.

흔한 오류는 Rμν=0R_{\mu\nu} = 0 을 "곡률이 없다"로 읽는 것이다. 표기가 0이니 그럴듯하지만, 사라진 것은 리치 텐서이고 리만 텐서의 나머지 성분인 바일 텐서는 남는다. 슈바르츠실트 해가 바로 그런 경우이며, 조석력은 진공에서도 존재한다. 중력파도 진공 방정식의 해다.

문제 3개념 진술형

"중력도 결국 다른 힘과 같은 게이지 이론이다"라는 주장이 어디까지 맞고 어디서부터 어긋나는지 정리하시오.

해설

맞는 부분은 구조다. 접속이 있고, 곡률이 접속의 교환자로 정의되며, 국소 대칭이 상호작용을 강제한다는 점이 같다. 국소 로렌츠 변환을 게이지군으로 보는 형식화도 실제로 존재한다.

어긋나는 부분은 세 가지다. 첫째, 게이지군이 내부 공간이 아니라 시공간 자체에 작용하므로 배경과 동역학을 분리하기 어렵다. 둘째, 결합상수가 차원을 가지므로 재규격화 가능성이 무너진다. 셋째, 양-밀스 작용은 장세기의 제곱인데 (1) 은 곡률의 1차이며, 이 차이가 방정식의 비선형 구조와 에너지 개념의 어려움을 낳는다.

흔한 오류는 구조적 유비를 이론적 동일성으로 확대하는 것이다. 두 이론을 나란히 쓴 표가 워낙 잘 맞아떨어져 그럴듯하다. 그러나 유비가 성립하는 층위는 기하학이고, 양자화의 성패를 가르는 층위는 결합상수의 차원이다. 층위를 구분하지 않으면 "중력 통일은 표기법 문제"라는 잘못된 낙관에 이른다.

더 읽기

  • 변분 계산 전체를 한 줄도 생략하지 않고 따라가려면 [2] 4장이 좋다.
  • 경계항과 작용의 잘 정의됨은 [1] 부록 E에 정리되어 있다.
  • 중력을 유효 장이론으로 다루는 관점과 그 적용 범위는 [3] 8부에서 다룬다.
  • 여분 차원에서 게이지장을 끌어내는 최초의 시도는 [4]이다.

참고문헌

  1. Wald, R. M. (1984). General Relativity. University of Chicago Press.
  2. Carroll, S. M. (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley.
  3. Zee, A. (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell. Princeton University Press, 2판.
  4. Kaluza, T. (1921). Zum Unitätsproblem der Physik. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, 966–972.
  5. Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields, Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press.

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