맥스웰 이론의 공변 형식

수식 없는 요지

전기와 자기는 원래 별개의 현상으로 연구되었다. 맥스웰은 둘을 하나의 이론으로 묶었고, 상대성이론은 왜 묶여야 했는지를 설명했다. 관측자가 움직이면 전기장으로 보이던 것이 자기장으로도 보이기 때문이다. 이 단원은 그 사실을 표기법으로 굳힌다. 전기장과 자기장을 각각 세 개의 숫자로 두는 대신, 둘을 합쳐 하나의 대상으로 쓰면 맥스웰 방정식 네 개가 두 줄로 줄어든다. 이 두 줄의 형태가 이후 모든 힘의 이론이 흉내 내는 원형이 된다.

동기 · 왜 다시 쓰는가

맥스웰 이론은 이미 완성된 이론이었다. 그런데도 표기를 바꾸는 데에는 세 가지 이유가 있다.

첫째, 벡터 미적분 형태의 네 방정식은 로렌츠 변환 아래에서 서로 섞인다. 한 관측자가 "정지한 전하가 만드는 전기장"이라 부르는 것을 다른 관측자는 "움직이는 전하가 만드는 전기장과 자기장"이라 부른다. 물리적으로 같은 대상을 관측자마다 다르게 쪼개고 있다는 신호이며, 쪼개지 않은 원래 대상을 써야 한다.

둘째, 이 이론은 사실상 최초의 통일장이론이다 [1]. 통일이 실제로 무엇을 뜻하는지, 즉 별개로 보이던 양들이 더 큰 대상의 성분이 되고 별개로 보이던 법칙들이 하나의 식이 되는 일이 여기서 처음 일어난다.

셋째, 다음 모듈의 양-밀스 이론은 여기서 얻을 식의 지표를 하나 늘린 것에 지나지 않는다. 형태를 정확히 익혀 두면 비가환 일반화가 기계적인 작업이 된다.

핵심 수식

4원 퍼텐셜 $A^\mu = (\varphi, \mathbf A)$ 에서 장세기 텐서를 정의한다.

F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \tag{1}

정의상 반대칭이므로 독립 성분은 여섯 개이고, 이는 전기장 셋과 자기장 셋의 수와 같다. 라그랑지안 밀도는

\lag = -\tfrac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - J^\mu A_\mu \tag{2}

이며, 여기서 나오는 운동 방정식이 비균질 방정식 두 개다.

\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu \tag{3}

나머지 두 개는 (1) 에서 따라오는 항등식이다.

\partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0 \tag{4}

유도 · 생략 없이

성분 맞추기

$A_\mu = (\varphi, -\mathbf A)$ 이므로 $A_0 = \varphi$ , $A_i = -A^i$ 다. 전자기학의 정의 $\mathbf E = -\nabla\varphi - \partial_t\mathbf A$ 를 쓰면

F_{0i} = \partial_0 A_i - \partial_i A_0 = -\partial_t A^i - \partial_i\varphi = E_i

이고, $\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$ 에서

F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i = -\big(\partial_i A^j - \partial_j A^i\big) = -\epsilon_{ijk}B_k

이다. 전기장은 시간-공간 성분, 자기장은 공간-공간 성분이다. 부스트가 시간과 공간을 섞으므로 전기장과 자기장이 섞인다는 사실이 이 배치에서 바로 읽힌다.

운동 방정식

(2) 을 $A_\nu$ 로 변분한다. 먼저 $F$ 항의 변분은

\delta\big(-\tfrac14 F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\big) = -\tfrac12 F^{\alpha\beta}\,\delta F_{\alpha\beta} = -\tfrac12 F^{\alpha\beta}\big(\partial_\alpha\delta A_\beta - \partial_\beta\delta A_\alpha\big) = -F^{\alpha\beta}\partial_\alpha\delta A_\beta

이다. 마지막 등호에서 $F^{\alpha\beta}$ 의 반대칭성으로 두 항이 같아진다는 점을 썼다. 따라서

\frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = -F^{\mu\nu}, \qquad \frac{\partial\lag}{\partial A_\nu} = -J^\nu

이고 오일러-라그랑주 방정식 $\partial_\mu(-F^{\mu\nu}) + J^\nu = 0$ , 즉 (3) 이 나온다. 성분으로 풀어 보면 $\nu = 0$ 은 가우스 법칙, $\nu = i$ 는 앙페르-맥스웰 법칙이다.

균질 방정식은 유도가 아니라 항등식이다

(4) 은 (1) 을 대입하면 여섯 개 항이 둘씩 상쇄되어 자동으로 성립한다. 어떤 작용에서도 나오지 않고, 나올 필요도 없다. 퍼텐셜이 존재한다는 가정 자체가 균질 방정식과 같은 내용이기 때문이다. 성분으로 보면 $\lambda\mu\nu$ 가 모두 공간 지표일 때 $\nabla\cdot\mathbf B = 0$ 이고, 하나가 시간 지표일 때 패러데이 법칙이다.

이 사실은 자기 홀극을 논할 때 다시 중요해진다. 홀극을 넣으려면 $\nabla\cdot\mathbf B \ne 0$ 이어야 하는데, 그러려면 전 시공간에서 매끄러운 $A_\mu$ 가 존재한다는 가정을 포기해야 한다 [2].

게이지 불변과 전류 보존

$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu\chi$ 로 바꾸어도 (1) 은 변하지 않는다. 미분의 교환성으로 두 항이 상쇄되기 때문이다. 원천 항은

-J^\mu\partial_\mu\chi = -\partial_\mu\big(J^\mu\chi\big) + \chi\,\partial_\mu J^\mu

로 바뀐다. 전류가 보존되면 전체 미분만 남으므로 작용은 불변이다. 거꾸로 (3) 의 양변에 $\partial_\nu$ 를 걸면 좌변은 대칭 지표와 반대칭 지표의 축약이라 항등적으로 0이므로 $\partial_\nu J^\nu = 0$ 이 강제된다. 게이지 대칭과 전류 보존은 서로를 요구한다. 보존되지 않는 전류에 결합한 게이지 이론은 무모순이 아니다.

예제 1 · 부스트하면 자기장이 생긴다

정지한 점전하는 전기장만 만든다. 속도 $v$ 로 움직이는 관측자에게 $F^{\mu\nu}$ 는 텐서 변환 규칙을 따르므로

E'_\parallel = E_\parallel, \quad \mathbf E'_\perp = \gamma\big(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B\big)_\perp, \quad \mathbf B'_\perp = \gamma\big(\mathbf B - \mathbf v\times\mathbf E\big)_\perp

가 된다. 원래 $\mathbf B = 0$ 이어도 $\mathbf B' \ne 0$ 이다. 도선 주위의 자기장을 전하의 상대론적 길이 수축으로 설명하는 익숙한 논증이 이 변환 규칙의 특수한 경우다. "전기와 자기의 통일"은 은유가 아니라 이 변환식을 뜻한다.

예제 2 · 두 개의 불변량

$F$ 로 만들 수 있는 로렌츠 스칼라는 둘뿐이다.

F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = 2\big(|\mathbf B|^2 - |\mathbf E|^2\big), \qquad F_{\mu\nu}\tilde F^{\mu\nu} = -4\,\mathbf E\cdot\mathbf B \tag{5}

여기서 $\tilde F^{\mu\nu} = \tfrac12\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}$ 다. 평면파에서는 두 불변량이 모두 0이며, 이 성질은 관측자와 무관하다. 어떤 관측자에게도 전자기파의 전기장과 자기장 크기가 같고 서로 수직으로 보인다는 뜻이다.

두 번째 불변량은 홀짝성을 뒤집으면 부호가 바뀌므로 라그랑지안에 넣으면 홀짝성이 깨진다. 게다가 이 항은 전체 미분이라 고전 운동 방정식을 바꾸지 않는다. 그런데도 강한 상호작용의 대응 항은 실제 관측 가능한 효과를 가지며, 그 계수가 왜 그토록 작은지가 강한 CP 문제다.

연습문제

문제 1유도형

(2) 에서 계수 $-\tfrac14$ 을 $-\tfrac12$ 로 바꾸면 무엇이 달라지는지, 그리고 왜 $-\tfrac14$ 이 표준인지 설명하시오.

해설

계수를 바꾸면 운동 방정식이 $2\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu$ 가 되어 전류의 정의에 인수 2가 붙는다. 물리는 같고 단위만 달라진다. $-\tfrac14$ 을 쓰는 이유는 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 가 반대칭 지표쌍을 두 번 세므로, 독립 성분당 계수를 $\tfrac12$ 로 맞추려면 $\tfrac14$ 이어야 하기 때문이다. 실제로 (5) 로 풀면 $-\tfrac14 F^2 = \tfrac12(|\mathbf E|^2 - |\mathbf B|^2)$ 가 되어 스칼라장의 $\tfrac12\dot\phi^2$ 와 같은 관례를 따른다.

흔한 오류는 계수를 순전한 관례로 보고 아무 값이나 써도 된다고 넘기는 것이다. 자유장만 다룰 때는 그럴듯하지만, 상호작용이 있으면 전하의 정의와 결합상수 값이 계수에 함께 묶여 움직인다. 결합상수를 비교하는 순간 관례를 통일해야 한다.

문제 2계산형

(2) 에 질량항 $\tfrac12 m^2 A_\mu A^\mu$ 를 더한 프로카 이론에서 게이지 불변이 깨짐을 보이고, 원천이 없을 때 $\partial_\mu A^\mu = 0$ 이 가정이 아니라 운동 방정식의 결과임을 확인하시오.

해설

$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu\chi$ 아래에서 $A_\mu A^\mu$ 는 $A_\mu A^\mu + 2A^\mu\partial_\mu\chi + (\partial\chi)^2$ 로 바뀌고, 이 추가 항들은 전체 미분이 아니므로 작용이 달라진다.

운동 방정식은 $\partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0$ 이다. 여기에 $\partial_\nu$ 를 걸면 첫 항은 항등적으로 0이므로 $m^2\partial_\nu A^\nu = 0$ 이고, $m \ne 0$ 이면 $\partial_\nu A^\nu = 0$ 이다. 네 성분 중 하나가 제거되어 물리적 편광은 셋이 된다.

흔한 오류는 이것을 로렌츠 게이지 조건과 같은 것으로 보는 것이다. 식의 모양이 같으니 그럴듯하지만 지위가 정반대다. 질량 없는 이론에서 $\partial_\mu A^\mu = 0$ 은 우리가 고르는 조건이고, 프로카 이론에서는 고를 게이지 자유가 없어 방정식이 강요하는 결과다. 그래서 편광 수가 둘과 셋으로 갈린다.

문제 3개념 진술형

"맥스웰 방정식 네 개를 모두 작용에서 유도했다"는 서술이 왜 부정확한지 설명하시오.

해설

작용에서 나오는 것은 (3) 의 비균질 방정식 두 개뿐이다. 균질 방정식 (4) 은 $F$ 를 퍼텐셜의 미분으로 정의한 순간 자동으로 성립하는 항등식이며, 변분과 무관하다. 즉 우리는 네 방정식 중 둘을 유도한 것이 아니라 표기법 안에 넣어 둔 것이다.

이 구분은 이론의 자유도를 셀 때 실질적이다. 균질 방정식은 $A_\mu$ 를 기본 변수로 택한 대가로 공짜로 얻는 것이고, 대신 게이지 중복이라는 비용을 치른다.

흔한 오류는 네 방정식을 대칭적으로 보아 모두 같은 지위에 두는 것이다. 벡터 미적분 형태로 나란히 쓰면 넷이 똑같아 보이므로 그럴듯하다. 그러나 공변 형식으로 옮기면 하나는 운동 방정식이고 하나는 항등식이라는 비대칭이 드러난다 [3].

더 읽기

같은 내용을 미분형식으로 다시 쓰면 (4) 이 $\dd F = 0$ 한 줄이 된다. [3] 1장과 부록을 보라.
게이지 이론의 원형으로서 맥스웰 이론을 읽는 관점은 [2] 4부에 있다.
이론이 만들어진 역사적 맥락과 "통일"이라는 말의 당대 의미는 [1]에 정리되어 있다.
양자화와 전파인자로 넘어가는 다음 단계는 [4] 4장이다.

참고문헌

Pais, A. (1982). Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford University Press.
Zee, A. (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell. Princeton University Press, 2판.
Carroll, S. M. (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley.
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.

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A1-5맥스웰 이론의 공변 형식