스칼라장과 클라인-고든

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수식 없는 요지

장이론의 재료를 고르는 일은 요리와 비슷하다. 재료를 아무렇게나 넣을 수는 없고 몇 가지 규칙을 지켜야 한다. 이 단원은 관측자가 바뀌어도 같은 값이어야 한다는 조건과 상호작용이 한 점에서만 일어나야 한다는 조건, 둘만으로 가장 단순한 장의 식이 거의 하나로 정해지는 과정을 보인다. 결과로 나오는 방정식에는 질량이라는 숫자가 하나 들어 있는데, 이 숫자는 그 장이 만드는 힘이 얼마나 멀리까지 미치는지를 결정한다. 질량이 없으면 힘은 무한히 멀리 가고, 질량이 있으면 그 역수만큼의 거리에서 끊긴다.

동기 · 왜 가장 단순한 장부터인가

스칼라장은 로렌츠 변환 아래에서 값이 그대로인 장, 즉 $\phi'(x') = \phi(x)$ 인 장이다. 지표가 없으므로 다룰 것이 가장 적다. 그러나 이 단원의 내용은 연습이 아니다.

첫째, 어떤 이론이든 상호작용을 끄면 자유장 부분이 남고 그 부분의 구조가 여기서 얻는 식과 같다. 전파인자, 정규화, 섭동 전개의 출발점이 모두 여기에 있다 [1]. 둘째, 표준모형에서 실제로 관측된 기본 스칼라장이 하나 있다. 힉스장이다. 셋째, 뒤에 게이지 이론에서 만나는 벡터장과 텐서장의 계산은 대부분 지표가 붙은 클라인-고든 계산이다.

역사적으로 이 방정식은 상대론적 한 입자 파동함수의 방정식으로 제안되었다가 음의 확률 밀도 문제로 버려졌고 [2], 장으로 재해석된 뒤에야 제자리를 찾았다. 이 실패의 내용은 아래 연습문제 3에서 다룬다.

핵심 수식

작용은 라그랑지안 밀도 하나로 정해진다.

\lag = \tfrac12\,\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \tfrac12 m^2\phi^2 \tag{1}

계량 규약은 $\eta_{\mu\nu} = \operatorname{diag}(+,-,-,-)$ 이고, 이 규약에서 첫 항은 $\tfrac12\dot\phi^2 - \tfrac12(\nabla\phi)^2$ 로 운동 에너지에서 위치 에너지를 뺀 형태다 [3]. 오일러-라그랑주 방정식은

\big(\partial_\mu\partial^\mu + m^2\big)\phi = 0 \tag{2}

이며, 평면파 $\phi \propto e^{-ik\cdot x}$ 를 넣으면 분산 관계

k^2 = m^2 \quad\Longleftrightarrow\quad \omega^2 = |\mathbf k|^2 + m^2 \tag{3}

를 얻는다. 상호작용을 넣으려면 $-\tfrac12 m^2\phi^2$ 를 일반 퍼텐셜 $-V(\phi)$ 로 바꾼다.

유도 · 생략 없이

라그랑지안을 고르는 규칙

$\lag$ 에 들어갈 수 있는 항을 다음 네 조건으로 거른다.

로렌츠 스칼라일 것. 그래서 $\partial_\mu\phi$ 는 홀로 못 들어오고 $\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi$ 로만 들어온다.
미분 2계 이하일 것. 앞 단원에서 본 안정성 요구다.
$\phi \to -\phi$ 대칭을 가정하면 홀수 거듭제곱이 빠진다. 이 가정은 선택이며, 버리면 $\phi^3$ 항이 허용된다.
재규격화 가능성을 요구하면 4차원에서 $\phi^4$ 까지만 남는다. $\lag$ 의 질량 차원이 4이고 $\phi$ 의 차원이 1이므로, $\phi^n$ 의 계수는 차원 $4-n$ 을 가지며 $n > 4$ 이면 음의 차원이 되어 이론이 유효 이론으로 격하된다 [4].

남는 것은 $\tfrac12(\partial\phi)^2$ , $-\tfrac12 m^2\phi^2$ , $-\tfrac{\lambda}{4!}\phi^4$ 세 항뿐이다. 자유장은 앞의 둘이다. 계수 $\tfrac12$ 은 관례이며, 이 값을 택해야 (2) 에 불필요한 인수가 붙지 않는다.

방정식

(1) 에서

\frac{\partial\lag}{\partial\phi} = -m^2\phi, \qquad \frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi

이다. 두 번째 식에서 $\tfrac12$ 이 사라진 이유는 $\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi$ 가 $\partial_\mu\phi$ 에 대해 2차라서 미분하면 2가 나오기 때문이다. 오일러-라그랑주 방정식 $\partial_\mu(\partial\lag/\partial(\partial_\mu\phi)) - \partial\lag/\partial\phi = 0$ 에 넣으면 곧바로 (2) 이 나온다.

질량은 무엇을 정하는가

(3) 에서 $m$ 은 정지 에너지다. 그러나 고전 장이론 수준에서 더 직접적인 의미는 도달 거리다. 정적인 점 원천이 있는 방정식

\big(-\nabla^2 + m^2\big)\phi = g\,\delta^3(\mathbf x)

을 푸리에 변환으로 풀면 $\tilde\phi(\mathbf k) = g/(|\mathbf k|^2 + m^2)$ 이고, 역변환은

\phi(r) = \frac{g}{4\pi r}\,e^{-mr} \tag{4}

를 준다. 질량이 지수적 감쇠를 낳는다. $m \to 0$ 이면 쿨롱 형태 $g/4\pi r$ 로 돌아간다. 유카와가 핵력의 도달 거리 $1\,\mathrm{fm}$ 에서 매개 입자의 질량을 $200\,\mathrm{MeV}$ 규모로 추정한 것이 바로 이 식이다. 뒤에 약한 상호작용이 왜 "약하고 짧은가"를 물을 때도 답은 (4) 의 $m$ 이 $W$ 보손의 질량이라는 것이다.

예제 1 · 무한개의 조화진동자

$\phi$ 를 공간 푸리에 모드로 전개하면

\phi(t,\mathbf x) = \int\frac{\dd^3k}{(2\pi)^3}\; \phi_{\mathbf k}(t)\, e^{i\mathbf k\cdot\mathbf x}

이고 (2) 은 각 모드에 대해 $\ddot\phi_{\mathbf k} + (|\mathbf k|^2 + m^2)\phi_{\mathbf k} = 0$ 이 된다. 모드끼리 섞이지 않는다. 자유 스칼라장은 진동수 $\omega_{\mathbf k} = \sqrt{|\mathbf k|^2+m^2}$ 를 가진 독립적인 조화진동자의 무한 모음이다.

이 그림이 양자화의 전부를 결정한다. 각 진동자를 양자화하면 에너지가 $\omega_{\mathbf k}$ 단위로 쌓이고, 그 단위를 입자라고 부른다. 상호작용 항 $\phi^4$ 는 모드를 섞는 항이며, 그때 비로소 입자 수가 바뀐다.

예제 2 · 부호를 뒤집으면

$m^2$ 을 $-\mu^2$ 로 바꾸어 $V(\phi) = -\tfrac12\mu^2\phi^2 + \tfrac{\lambda}{4!}\phi^4$ 를 쓰면 $\phi = 0$ 은 더 이상 최소가 아니라 극대다. 최솟값은 $\phi = \pm v$ , $v = \sqrt{6\mu^2/\lambda}$ 에 있다. 장이 둘 중 하나를 고르면 $\phi \to -\phi$ 대칭이 방정식에는 남아 있지만 바닥 상태에는 없다. 자발적 대칭 깨짐의 가장 단순한 예이며, 힉스 기작의 뼈대가 이 한 줄이다.

연습문제

문제 1계산형

$\lag = \tfrac12(\partial\phi)^2 - \tfrac12 m^2\phi^2 - \tfrac{\lambda}{4!}\phi^4$ 의 장 방정식을 구하고, 예제 2의 $v$ 주변에서 $\phi = v + \chi$ 로 전개해 $\chi$ 의 질량을 구하시오.

해설

장 방정식은 $(\partial^2 + m^2)\phi + \tfrac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0$ 이다. $\phi^4$ 를 미분하면 $4\phi^3$ 이고 $4/4! = 1/3!$ 이다.

부호를 뒤집은 퍼텐셜에서 $V''(\phi) = -\mu^2 + \tfrac{\lambda}{2}\phi^2$ 이므로 $\phi = v$ 에서 $V''(v) = -\mu^2 + \tfrac{\lambda}{2}\cdot\tfrac{6\mu^2}{\lambda} = 2\mu^2$ 이다. 즉 $\chi$ 의 질량 제곱은 $2\mu^2$ 로 양수다.

흔한 오류는 $\lambda$ 앞의 $1/4!$ 을 잊고 $v^2 = \mu^2/\lambda$ 로 쓰는 것이다. 교과서마다 $\phi^4$ 계수 관례가 $\lambda/4!$ , $\lambda/4$ , $\lambda$ 로 갈리기 때문에 그럴듯하다. 관례는 자유롭지만 한 계산 안에서 섞으면 안 되고, 물리적 결과인 $m_\chi^2 = 2\mu^2$ 는 관례와 무관하다는 점으로 검산할 수 있다.

문제 2유도형

(4) 를 직접 유도하시오. 또 $m \to 0$ 극한에서 쿨롱 퍼텐셜이 나오는 것이 왜 "광자가 질량이 없다"는 실험적 진술과 같은지 설명하시오.

해설

$\tilde\phi(\mathbf k) = g/(|\mathbf k|^2+m^2)$ 의 역변환은 각도 적분을 먼저 해서

\phi(r) = \frac{g}{(2\pi)^3}\int \dd^3k\, \frac{e^{i\mathbf k\cdot\mathbf x}}{|\mathbf k|^2+m^2} = \frac{g}{2\pi^2 r}\int_0^\infty \dd k\, \frac{k\sin kr}{k^2+m^2}

가 되고, 마지막 적분은 복소평면에서 $k = im$ 의 유수로 $\tfrac{\pi}{2}e^{-mr}$ 을 준다. 결과가 (4) 다.

쿨롱 법칙이 정확히 $1/r$ 이라는 것은 $e^{-mr}$ 의 지수가 0이라는 것과 같으므로, 쿨롱 법칙의 정밀 측정은 광자 질량의 상한이 된다. 실험은 $m_\gamma$ 가 $10^{-18}\,\mathrm{eV}$ 아래임을 말한다.

흔한 오류는 $1/r^{2+\epsilon}$ 형태의 멱법칙 이탈을 찾는 것이 광자 질량을 재는 방법이라고 보는 것이다. 멱법칙 검증이 익숙하니 그럴듯하지만, 질량이 낳는 이탈은 멱이 아니라 지수다. 두 이탈은 거리 의존성이 전혀 다르므로 실험 설계도 달라진다.

문제 3개념 진술형

클라인-고든 방정식을 "상대론적 슈뢰딩거 방정식"으로 읽으면 어떤 문제가 생기는지, 장으로 읽으면 왜 그 문제가 사라지는지 설명하시오.

해설

한 입자 파동함수로 읽으면 확률 밀도로 쓸 후보가 $\rho = i(\psi^*\dot\psi - \psi\dot\psi^*)$ 인데, (2) 이 시간에 대해 2계라서 $\psi$ 와 $\dot\psi$ 를 독립적으로 줄 수 있고 따라서 $\rho$ 가 음수인 초기 조건이 존재한다. 또 (3) 는 $\omega = \pm\sqrt{|\mathbf k|^2+m^2}$ 로 음의 에너지 해를 허용한다.

장으로 읽으면 두 문제가 함께 풀린다. $\rho$ 는 확률 밀도가 아니라 전하 밀도이므로 음수여도 된다. 반대 부호 전하를 가진 반입자를 뜻할 뿐이다. 음의 진동수 해도 소멸 연산자와 생성 연산자로 나뉘어 해석되므로 에너지는 아래로 유계다.

흔한 오류는 음의 확률 문제가 "클라인-고든 방정식이 틀렸다"는 뜻이라고 결론짓는 것이다. 역사적으로 디랙도 한동안 그렇게 보았으니 그럴듯하지만, 틀린 것은 방정식이 아니라 해석이다. 방정식은 그대로 두고 $\phi$ 의 지위를 파동함수에서 연산자값 장으로 바꾸면 된다.

더 읽기

자유 스칼라장의 모드 전개와 양자화는 [3] 2.3절이 표준이다.
스칼라장만으로 장이론 전체를 먼저 훑는 구성은 [1] 1부에 있다. 지표 없는 계산으로 구조를 익히기 좋다.
어떤 항이 허용되는지를 차원으로 거르는 논의는 [4] 22장이 자세하다.
원래 제안의 맥락은 [2]이다.

참고문헌

Srednicki, M. (2007). Quantum Field Theory. Cambridge University Press.
Klein, O. (1926). Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Zeitschrift für Physik 37, 895–906. doi:10.1007/BF01397481
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
Schwartz, M. D. (2014). Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press.

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