뇌터 정리 II · 시공간 대칭 · 통일장이론 교육과정

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수식 없는 요지

앞 단원의 대칭은 장의 값만 바꾸고 시공간은 건드리지 않았다. 이번에는 시공간 자체를 옮기거나 돌린다. 실험을 여기서 하든 저기서 하든, 지금 하든 나중에 하든, 어느 방향으로 돌려놓고 하든 결과가 같다는 요구다. 이 요구에서 에너지, 운동량, 각운동량이 한꺼번에 나오며, 그것들은 각각 따로 있는 양이 아니라 하나의 텐서의 성분들로 묶인다. 이 텐서가 뒤에 중력의 원천이 되므로, 이 단원은 장이론과 중력을 잇는 다리다.

동기 · 안쪽 대칭과 무엇이 다른가

뇌터 흐름을 유도할 때 우리는 변환이 장의 값에만 작용한다고 가정했다. 위상 회전 $\phi \to e^{i\alpha}\phi$ 가 그런 변환이다. 시공간 대칭은 다르다. 평행이동은 장의 값을 다른 점으로 옮기므로 라그랑지안 밀도 자체도 함께 옮겨지고, 따라서 $\lag$ 는 불변이 아니라 전체 미분만큼 변한다. 앞 단원에서 $\mathcal J^\mu$ 라는 여유 항을 굳이 남겨 둔 이유가 여기 있다.

이 차이는 형식적인 것에 그치지 않는다. 안쪽 대칭의 전하는 숫자 하나지만 시공간 대칭의 전하는 지표를 가진다. 네 방향의 평행이동에서 네 개의 보존량 $P^\nu$ 가 나오고, 여섯 개의 로렌츠 생성자에서 여섯 개의 $M^{\nu\lambda}$ 가 나온다. 이 열 개가 푸앵카레 대수의 생성자이며, 입자를 질량과 스핀으로 분류하는 근거가 된다 [1].

핵심 수식

평행이동 대칭에서 나오는 정준 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다.

T^{\mu\nu}_{\text{정준}} = \frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial^\nu\phi - \eta^{\mu\nu}\lag , \qquad \partial_\mu T^{\mu\nu} = 0 \tag{1}

보존 전하는 4원 운동량이다.

P^\nu = \int \dd^3x\; T^{0\nu} \tag{2}

로렌츠 대칭에서는 지표가 셋인 흐름이 나온다.

M^{\mu\nu\lambda} = x^\nu T^{\mu\lambda} - x^\lambda T^{\mu\nu} + S^{\mu\nu\lambda}, \qquad \partial_\mu M^{\mu\nu\lambda} = 0 \tag{3}

스칼라장에서는 스핀 항 $S^{\mu\nu\lambda}$ 가 없다.

유도 · 생략 없이

평행이동

$x^\mu \to x^\mu + a^\mu$ 아래에서 장의 값은 $\phi(x) \to \phi(x-a)$ 로 옮겨지므로 무한소 변화는

\delta\phi = -a^\nu\partial_\nu\phi

이다. $\lag$ 가 $x$ 에 명시적으로 의존하지 않는다면 $\lag$ 도 같은 규칙으로 옮겨지므로

\delta\lag = -a^\nu\partial_\nu\lag = \partial_\mu\big({-a^\mu}\lag\big)

즉 앞 단원 표기로 $\mathcal J^\mu = -a^\mu\lag$ 다. 뇌터 흐름 공식에 넣으면

j^\mu = \frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\phi)}\big(-a^\nu\partial_\nu\phi\big) + a^\mu\lag = -a_\nu\left[\frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial^\nu\phi - \eta^{\mu\nu}\lag\right]

가 된다. $a_\nu$ 는 임의의 상수 벡터이므로 대괄호 안이 각각 보존되어야 한다. 이것이 (1) 이다. 여기서 " $\lag$ 가 $x$ 에 명시적으로 의존하지 않는다"는 가정이 결정적이다. 외부에서 시간에 따라 변하는 퍼텐셜을 걸면 이 가정이 깨지고 에너지는 보존되지 않는다.

성분의 뜻은 (2) 에서 읽는다. $T^{00}$ 은 에너지 밀도, $T^{0i}$ 은 운동량 밀도, $T^{ij}$ 은 응력이다. $\partial_\mu T^{\mu 0} = 0$ 은 에너지 연속 방정식 $\partial_t T^{00} + \partial_i T^{i0} = 0$ 그 자체다.

로렌츠 변환

무한소 로렌츠 변환은 $x^\mu \to x^\mu + \omega^{\mu}{}_{\nu}x^\nu$ 이고 $\omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu}$ 다. 반대칭이라는 조건이 독립 성분을 여섯 개로 줄이며, 셋은 회전, 셋은 부스트다. 스칼라장에서는

\delta\phi = -\omega^{\mu}{}_{\nu}x^\nu\partial_\mu\phi

이고, 평행이동에서와 같은 계산을 반복하면 (3) 의 궤도 부분 $x^\nu T^{\mu\lambda} - x^\lambda T^{\mu\nu}$ 이 나온다. 지표가 붙은 장, 예를 들어 $A_\mu$ 나 스피너에서는 로렌츠 변환이 좌표뿐 아니라 성분도 섞으므로 스핀 항 $S^{\mu\nu\lambda}$ 이 추가된다.

보존과 대칭성의 관계

(3) 의 궤도 부분만 놓고 발산을 계산하면

\partial_\mu\big(x^\nu T^{\mu\lambda} - x^\lambda T^{\mu\nu}\big) = T^{\nu\lambda} - T^{\lambda\nu} \tag{4}

이다. $\partial_\mu x^\nu = \delta^\nu_\mu$ 와 $\partial_\mu T^{\mu\lambda} = 0$ 을 썼다. 따라서 스핀이 없는 경우 각운동량 보존은 에너지-운동량 텐서가 대칭이라는 것과 같은 말이다. 정준 텐서가 대칭이 아닌 이론에서는 스핀 항이 그 비대칭을 정확히 상쇄한다.

이 사실이 벨린판테 개선 절차의 근거다. 반대칭 지표를 가진 $B^{\lambda\mu\nu} = -B^{\mu\lambda\nu}$ 를 써서

T^{\mu\nu}_{\text{개선}} = T^{\mu\nu}_{\text{정준}} + \partial_\lambda B^{\lambda\mu\nu} \tag{5}

로 고치면, 반대칭성 때문에 $\partial_\mu\partial_\lambda B^{\lambda\mu\nu} = 0$ 이므로 보존이 유지되고 (2) 의 전하도 바뀌지 않는다. $B$ 를 스핀 항에서 골라 대칭이고 게이지 불변인 텐서를 만드는 것이 표준 절차다 [1].

예제 1 · 스칼라장의 에너지 밀도와 압력

$\lag = \tfrac12(\partial\phi)^2 - V(\phi)$ 에 (1) 을 적용하면

T^{\mu\nu} = \partial^\mu\phi\,\partial^\nu\phi - \eta^{\mu\nu}\left[\tfrac12(\partial\phi)^2 - V\right] \tag{6}

이다. 지표가 대칭이므로 스칼라장에서는 개선이 필요 없다. 공간적으로 균일한 배위 $\phi = \phi(t)$ 에 대해

\rho = T^{00} = \tfrac12\dot\phi^2 + V, \qquad p = \tfrac13 T^{ii} = \tfrac12\dot\phi^2 - V

를 얻는다. 완전 유체 형태다. 운동 항이 지배하면 $p \simeq \rho$ 이고, 퍼텐셜이 지배하면 $p \simeq -\rho$ 가 되어 음압이 된다. 우주 초기의 급팽창과 현재의 암흑에너지를 스칼라장으로 모형화하는 계산이 이 두 줄에서 출발한다.

예제 2 · 궤도와 스핀

전자기장에서 (3) 의 스핀 항은 $S^{\mu\nu\lambda} = F^{\mu\nu}A^\lambda - F^{\mu\lambda}A^\nu$ 형태로 나온다. 궤도 부분과 스핀 부분을 따로 떼어 놓으면 각각은 게이지 불변이 아니고 각각 보존되지도 않는다. 합만이 보존되고 관측 가능하다.

빛의 궤도 각운동량과 스핀 각운동량을 실험에서 따로 측정할 수 있는데도 이론에서 분리가 애매한 것은 이 때문이다. 분리는 특정 게이지와 특정 관측 설정에서만 뜻을 가진다 [2].

연습문제

문제 1유도형

(4) 을 직접 확인하고, 스핀 항이 있는 경우 각운동량 보존이 무엇을 요구하는지 쓰시오.

해설

$\partial_\mu(x^\nu T^{\mu\lambda}) = \delta^\nu_\mu T^{\mu\lambda} + x^\nu\partial_\mu T^{\mu\lambda} = T^{\nu\lambda}$ 이고, 두 번째 항은 (1) 의 보존으로 사라진다. $\nu$ 와 $\lambda$ 를 바꾼 항을 빼면 (4) 이다.

스핀 항이 있으면 $\partial_\mu M^{\mu\nu\lambda} = T^{\nu\lambda} - T^{\lambda\nu} + \partial_\mu S^{\mu\nu\lambda} = 0$ 이므로, 정준 텐서의 반대칭 부분이 스핀 흐름의 발산과 정확히 상쇄되어야 한다. 이 조건이 (5) 의 $B$ 를 고르는 지침이 된다.

흔한 오류는 에너지-운동량 텐서가 정의상 대칭이라고 보는 것이다. 일반상대성이론에서 만나는 $T^{\mu\nu}$ 가 항상 대칭이라 그럴듯하지만, 그것은 계량에 대한 변분으로 정의된 텐서이고 여기서 뇌터 정리가 준 정준 텐서와는 경계항만큼 다르다. 두 정의가 일치하는 것은 개선을 마친 뒤다.

문제 2계산형

(6) 에서 $T^{\mu}{}_{\mu}$ 를 구하고, 질량이 없고 퍼텐셜도 없을 때 대각합이 0이 아님을 확인하시오. 이것이 척도 불변성과 어떤 관계인지 설명하시오.

해설

4차원에서 $\eta^{\mu}{}_{\mu} = 4$ 이므로 $T^{\mu}{}_{\mu} = (\partial\phi)^2 - 4\left[\tfrac12(\partial\phi)^2 - V\right] = -(\partial\phi)^2 + 4V$ 다. $V = 0$ 이어도 $-(\partial\phi)^2$ 가 남는다. 다만 운동 방정식 $\partial^2\phi = 0$ 위에서 이 양은 $-\tfrac12\partial^2(\phi^2)$ 로 전체 미분이 되므로, $B$ 를 적절히 골라 개선하면 대각합이 0인 텐서를 만들 수 있다.

흔한 오류는 대각합이 0이 아니므로 질량 없는 스칼라 이론이 척도 불변이 아니라고 결론짓는 것이다. 대각합과 척도 불변의 대응은 맞지만, 대응하는 텐서는 정준 텐서가 아니라 개선된 텐서다. 정준 텐서의 대각합이 전체 미분으로 사라지는지 확인해야 한다.

문제 3개념 진술형

"뇌터 정리에 따라 에너지는 언제나 보존된다"는 진술이 팽창하는 우주에서 왜 성립하지 않는지 설명하시오.

해설

(1) 의 보존은 시간 평행이동 대칭에서 나왔고, 그 대칭은 $\lag$ 가 시간에 명시적으로 의존하지 않을 때만 있다. 팽창하는 우주의 계량은 척도인자 $a(t)$ 를 통해 시간에 의존하므로 시간 평행이동 대칭이 없다. 굽은 시공간에서 성립하는 식은 $\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$ 인데, 공변 미분에 붙는 접속 항 때문에 이것을 적분해 시간에 무관한 전하를 만들 수 없다. 전역적으로 보존되는 에너지를 정의하려면 시간 방향 킬링 벡터가 있어야 한다 [3].

흔한 오류는 "에너지 보존은 물리학의 근본 법칙이므로 예외가 없다"고 보는 것이다. 지상 실험실이 사실상 시간 평행이동 대칭을 가지므로 그럴듯하다. 그러나 뇌터 정리는 조건문이고, 우주론적 척도에서 그 조건이 성립하지 않는다. 팽창하며 파장이 늘어나는 광자의 에너지가 어디로 갔는지 묻는 물음에 대한 답이 이것이다 [4].

더 읽기

푸앵카레 대칭과 입자 분류의 관계는 [1] 2장에 있다. 질량과 스핀이 왜 두 개의 카시미르 불변량인지가 여기서 나온다.
벨린판테 개선의 구체적 계산은 [2] 연습문제 2.1 과 그 풀이 전통을 따르면 좋다.
굽은 시공간에서 에너지 개념이 왜 어려운지는 [3] 4장에서 킬링 벡터와 함께 읽는다.

참고문헌

Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields, Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press.
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
Carroll, S. M. (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley.
Noether, E. (1918). Invariante Variationsprobleme. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 235–257.

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A1-4뇌터 정리 II · 시공간 대칭