입자에서 장으로

수식 없는 요지

입자 역학은 공 하나의 위치처럼 숫자 몇 개만 시간에 따라 쫓아가면 되는 계를 다룬다. 그런데 전기장이나 중력장은 공간의 모든 점마다 값을 하나씩 가지므로, 쫓아가야 할 숫자가 무한히 많다. 이 단원은 숫자가 무한히 많아져도 최소작용 원리가 그대로 작동한다는 것을 보인다. 달라지는 것은 라그랑지안을 공간에 대한 적분, 즉 밀도로 쓴다는 점 하나뿐이다. 이후 이 사이트에서 다루는 전자기 이론, 양-밀스 이론, 중력 이론은 모두 이 한 문장의 변주다.

동기 · 좌표 몇 개로는 쓸 수 없던 것

입자 역학은 계를 유한개의 좌표 $q_1(t), \dots, q_N(t)$ 로 기술한다. 자유도의 수는 입자 수의 세 배이고, 운동 방정식은 그만큼의 상미분 방정식이다. 이 틀에서 전기력은 떨어져 있는 두 전하 사이의 거리 함수로 들어온다.

이 서술은 상대성이론과 충돌한다. 한쪽 전하를 흔들면 거리가 즉시 바뀌므로 다른 전하가 받는 힘도 즉시 바뀌어야 한다. 그러나 실험은 변화가 빛의 속도로 전달된다고 말한다. 전달되는 동안 에너지와 운동량이 어디에 있는지도 답해야 한다. 두 전하 사이 빈 공간에 아무것도 없다면 그 시간 동안 보존 법칙이 깨진다.

답은 공간 자체에 역학 변수를 얹는 것이다. 각 점 $x$ 마다 값 $\phi(x)$ 를 두고, 그 값이 이웃한 점의 값과만 직접 얽히게 한다. 이것이 국소성이며, 상호작용이 유한한 속도로 퍼지는 이유를 구조 자체에 넣는 방법이다. 이 전환에서 가장 자주 오해되는 지점은 $x^\mu$ 의 지위다. 입자 역학에서 $q$ 가 역학 변수이고 $t$ 가 매개변수였듯이, 장이론에서는 $\phi$ 가 역학 변수이고 $x^\mu$ 는 매개변수다. 시공간 좌표는 풀어야 할 미지수가 아니라 자유도에 붙인 이름표다 [1].

핵심 수식

장의 작용은 시공간 전체에 대한 적분이다.

S[\phi] = \int \dd^4x \; \lag\big(\phi,\ \partial_\mu\phi\big) \tag{1}

여기서 $\lag$ 가 라그랑지안 밀도다. 이 한 줄에 이미 물리적 가정 세 개가 들어 있다.

$\lag$ 가 한 점의 $\phi$ 와 그 점에서의 미분에만 의존한다. 국소성이다.
$\dd^4x$ 와 $\lag$ 가 각각 로렌츠 불변이므로 작용도 불변이다. 좌표계를 바꾸어도 같은 운동 방정식이 나온다.
미분이 1계까지만 들어간다. 2계 이상을 넣으면 뒤에 볼 이유로 에너지가 아래로 유계가 아니게 된다.

$\delta S = 0$ 에서 나오는 장의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

\partial_\mu\left(\frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) - \frac{\partial\lag}{\partial\phi} = 0 \tag{2}

유도 · 생략 없이

격자에서 연속으로

무한 자유도가 갑자기 튀어나온 것이 아님을 보려면 유한 자유도에서 극한을 밟는 편이 낫다. 간격 $a$ 로 늘어선 질량 $m$ 의 구슬이 용수철 상수 $k$ 로 이어져 있고, $i$ 번째 구슬의 평형에서의 변위를 $\eta_i(t)$ 라 하자.

L = \sum_i \left[\frac{m}{2}\dot\eta_i^{\,2} - \frac{k}{2}\big(\eta_{i+1}-\eta_i\big)^2\right] \tag{3}

(3) 을 $a$ 로 묶어 다시 쓰면

L = \sum_i a \left[\frac{1}{2}\frac{m}{a}\dot\eta_i^{\,2} - \frac{1}{2}(ka)\left(\frac{\eta_{i+1}-\eta_i}{a}\right)^{2}\right]

가 된다. 이제 $a \to 0$ 을 취하되 선밀도 $\mu = m/a$ 와 영률 $Y = ka$ 를 고정한다. 합 $\sum_i a$ 는 적분 $\int \dd x$ 가 되고, 차분 몫은 편미분 $\partial_x\eta$ 가 되며, 이산 라벨 $i$ 는 연속 라벨 $x$ 가 된다.

L = \int \dd x \left[\frac{\mu}{2}\dot\eta^{\,2} - \frac{Y}{2}(\partial_x\eta)^2\right] \equiv \int \dd x\; \lag \tag{4}

라그랑지안 밀도는 이렇게 등장한다. 새 원리를 넣은 것이 아니라 자유도를 세는 방식만 바꾼 것이다 [2]. 극한을 취한 뒤 $i$ 가 $x$ 로 바뀌었다는 점이 핵심이다. 연속 극한 이후 $x$ 는 좌표가 아니라 자유도의 번호다.

변분

(1) 에서 $\phi \to \phi + \delta\phi$ 로 놓고, 변분이 시공간 좌표를 건드리지 않으므로 $\delta(\partial_\mu\phi) = \partial_\mu(\delta\phi)$ 를 쓴다.

\delta S = \int \dd^4x \left[\frac{\partial\lag}{\partial\phi}\,\delta\phi + \frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\mu(\delta\phi)\right]

두 번째 항에 곱의 미분 규칙을 거꾸로 적용한다.

\frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\mu(\delta\phi) = \partial_\mu\left[\frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi\right] - \partial_\mu\left(\frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)\delta\phi

첫 항은 발산이므로 시공간 적분이 경계 적분이 된다. 변분 문제에서 경계의 장 배위는 고정되어 있으므로 경계에서 $\delta\phi = 0$ 이고, 이 항은 사라진다. 남는 것은

\delta S = \int \dd^4x \left[\frac{\partial\lag}{\partial\phi} - \partial_\mu\left(\frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)\right]\delta\phi \tag{5}

이다. 임의의 $\delta\phi$ 에 대해 (5) 이 0이어야 하므로 대괄호가 모든 점에서 0이어야 한다. 이것이 (2) 이다. "임의의 함수에 곱해 적분한 값이 항상 0이면 그 함수는 0이다"라는 변분법의 기본 보조정리를 여기서 썼고, 이 보조정리는 $\delta\phi$ 를 한 점 주변에만 몰아넣을 수 있기 때문에 성립한다.

예제 1 · 탄성 줄의 파동 방정식

(4) 의 $\lag$ 에 (2) 을 적용한다. $\partial\lag/\partial\eta = 0$ , $\partial\lag/\partial\dot\eta = \mu\dot\eta$ , $\partial\lag/\partial(\partial_x\eta) = -Y\partial_x\eta$ 이므로

\mu\,\partial_t^2\eta - Y\,\partial_x^2\eta = 0

이고 파동 속도는 $v = \sqrt{Y/\mu}$ 다. 여기서 $v$ 를 빛의 속도로 놓고 $c=1$ 단위를 쓰면 $\partial_\mu\partial^\mu\eta = 0$ 이 되는데, 이것이 다음 단원에서 다룰 질량 없는 스칼라장의 방정식이다. 일상적인 줄과 기본 입자가 같은 방정식을 공유하는 이유는 둘 다 "이웃과 2차 항으로만 결합한 무한 자유도 계"라는 같은 구조를 가지기 때문이다.

예제 2 · 전체 미분은 왜 무해한가

$\lag' = \lag + \partial_\mu K^\mu(\phi)$ 로 바꾸면 작용은 $S' = S + \oint \dd\Sigma_\mu K^\mu$ 로 경계항만 얻는다. 경계에서 장이 고정되어 있으므로 $\delta S' = \delta S$ 이고 운동 방정식은 바뀌지 않는다.

이 자유는 사소해 보이지만 뇌터 흐름의 정의에 직접 들어온다. 대칭 변환이 $\lag$ 를 정확히 보존하지 않고 전체 미분만큼 바꾸는 경우가 흔하기 때문이다. 같은 이유로 "라그랑지안 밀도"는 물리적으로 유일하게 정해지는 양이 아니며, 그것에서 유도한 에너지-운동량 텐서도 유일하지 않다.

연습문제

문제 1유도형

$\lag$ 가 2계 미분까지 포함할 때, 즉 $\lag(\phi, \partial_\mu\phi, \partial_\mu\partial_\nu\phi)$ 일 때의 오일러-라그랑주 방정식을 유도하고 어떤 경계 조건이 추가로 필요한지 밝히시오.

해설

부분적분을 두 번 하면

\frac{\partial\lag}{\partial\phi} - \partial_\mu\left(\frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) + \partial_\mu\partial_\nu\left(\frac{\partial\lag}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\right) = 0

을 얻는다. 두 번째 부분적분에서 생기는 경계항이 $\partial_\mu(\delta\phi)$ 에 비례하므로, 경계에서 $\delta\phi = 0$ 뿐 아니라 $\partial_\mu(\delta\phi) = 0$ 까지 요구해야 한다. 운동 방정식은 4계가 되고, 초기 조건은 $\phi$ 와 그 3계 미분까지 여덟 개가 필요하다.

흔한 오류는 경계 조건을 $\delta\phi = 0$ 하나로 끝내는 것이다. 1계 라그랑지안에서 그것으로 충분했으므로 그럴듯하지만, 부분적분을 한 번 더 하는 순간 버려야 할 경계항의 종류가 늘어난다. 덧붙여 오스트로그라드스키 정리에 따르면 이런 계의 해밀토니안은 운동량 하나에 대해 선형이어서 아래로 유계가 아니다. 미분 차수를 1계로 제한하는 것은 편의가 아니라 안정성 요구다.

문제 2계산형

복소 스칼라 장 $\lag = \partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi$ 에서 $\phi$ 와 $\phi^*$ 를 독립 변수로 보고 장 방정식을 구하시오. 왜 독립으로 보아도 되는지 함께 설명하시오.

해설

$\phi^*$ 에 대한 변분은 $\partial\lag/\partial\phi^* = -m^2\phi$ , $\partial\lag/\partial(\partial_\mu\phi^*) = \partial^\mu\phi$ 이므로 $(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi = 0$ 을 준다. $\phi$ 에 대한 변분은 그 복소켤레를 준다.

독립으로 볼 수 있는 이유는 실수 성분 $\phi_1, \phi_2$ 로 쓴 뒤 $\phi = (\phi_1 + i\phi_2)/\sqrt{2}$ 로 되돌리는 계산이 같은 결과를 주기 때문이다. $(\phi, \phi^*)$ 는 $(\phi_1,\phi_2)$ 의 가역 선형 변환이고, 변분 방정식의 집합은 변수의 선형 재조합에 대해 불변이다.

흔한 오류는 $\phi^*$ 가 $\phi$ 로 완전히 결정되므로 변분하면 이중 계산이 된다고 보고 결과를 2로 나누는 것이다. 제약이 실제로 있으니 그럴듯하지만, 그 제약은 변분 방정식을 푼 다음에 해에 부과하는 조건이지 변분 자체를 절반으로 줄이는 조건이 아니다. 두 방정식은 서로의 켤레여서 독립적인 정보는 애초에 하나뿐이다.

문제 3개념 진술형

"장이론에서는 $x^\mu$ 도 역학 변수다"라는 문장이 왜 틀렸는지, 그리고 이 오해가 어떤 계산 실수를 낳는지 300자 이내로 쓰시오.

해설

입자 역학의 대응을 옮길 때 짝은 $q(t) \leftrightarrow \phi(x)$ 이고 $t \leftrightarrow x^\mu$ 다. $x^\mu$ 는 자유도에 붙은 연속적인 번호이며 변분 대상이 아니다. 변분 대상은 각 점의 장 값이다.

이 오해가 낳는 대표적 실수는 $\delta(\partial_\mu\phi) = \partial_\mu(\delta\phi)$ 를 의심하는 것이다. 좌표가 함께 변한다고 보면 이 교환이 성립하지 않고, 그러면 오일러-라그랑주 방정식 유도가 막힌다.

흔한 오류가 그럴듯한 이유는 상대성이론이 "시공간도 역학적"이라고 가르치기 때문이다. 그러나 일반상대성이론에서 역학 변수가 되는 것은 좌표 $x^\mu$ 가 아니라 계량장 $g_{\mu\nu}(x)$ 다. 좌표 자체는 그때에도 여전히 이름표에 머문다.

더 읽기

연속계로 넘어가는 극한 과정은 [1] 13장에 자세하다. 격자에서 시작하는 서술이 여기 (3) 과 같다.
장이론 언어의 최소 요약은 [3] 2.2절이다.
같은 이야기를 침대 매트리스 비유로 푸는 서술은 [2] 1부 1장에 있다. 무한 자유도의 그림을 먼저 잡고 싶을 때 좋다.
작용 형식을 상대론적 양자역학의 요구에서 재구성하는 관점은 [4] 7장이다.

참고문헌

Goldstein, H., Poole, C., Safko, J. (2002). Classical Mechanics. Addison Wesley, 3판.
Zee, A. (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell. Princeton University Press, 2판.
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields, Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press.

초고 AI 보조이 글은 초고 작성에 AI 보조를 썼습니다. 수식 유도와 인용은 사람이 확인해야 검토 완료로 올라갑니다.사용 범위

A1-1입자에서 장으로