힉스 기작

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수식 없는 요지

앞 단원에서 대칭이 자발적으로 깨지면 되돌리는 힘이 없는 무질량 입자가 생긴다는 것을 보았다. 그런데 그런 입자는 자연에서 발견되지 않았다. 여기서 반전이 일어난다. 깨진 대칭이 앞서 배운 국소 대칭이라면, 골드스톤 입자는 관측되는 대신 게이지 보손 안으로 흡수되어 버린다. 무질량 게이지 보손은 편광 방향이 두 개인데, 흡수한 뒤에는 세 개가 되고 이것은 무거운 입자의 표시다. 금지되었던 질량이 대칭을 어기지 않고 만들어지는 이 우회로가 힉스 기작이다.

동기 · 두 개의 재앙이 서로를 없앤다

지금까지 두 가지 곤란을 만났다. 국소 게이지 대칭은 게이지 보손의 질량항을 금지하는데 약한 상호작용의 매개 입자는 무겁다. 그리고 자발적 대칭붕괴는 무질량 스칼라를 강제하는데 그런 스칼라는 관측되지 않는다. 두 문제를 한 계에 함께 넣으면 서로를 지운다 [1,2,3].

직관은 자유도 셈에 있다. 무질량 벡터장은 편광이 가로 두 개뿐이다. 무거운 벡터장은 세로 편광이 하나 더 있어 세 개다. 어디선가 하나를 가져와야 하는데, 마침 골드스톤 보손이 하나 남아돈다.

핵심 수식

아벨 힉스 모형의 라그랑지안은 앞 두 단원을 그대로 합친 것이다.

\lag = -\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \left(D_\mu\phi\right)^*\left(D^\mu\phi\right) - V(\phi) , \qquad D_\mu = \partial_\mu + ieA_\mu \tag{1}

$V$ 는 앞 단원의 퍼텐셜과 같은 형태이고 진공 기댓값은 $\langle\phi\rangle = v/\sqrt2$ 다. 결과는 두 개의 질량이다.

m_A = e\,v , \qquad m_h = \sqrt{2\lambda}\;v \tag{2}

자유도 셈은 다음과 같이 맞아떨어진다.

\underbrace{2}_{\text{복소 스칼라}} + \underbrace{2}_{\text{무질량 벡터}} \;=\; \underbrace{1}_{\text{힉스}} + \underbrace{3}_{\text{무거운 벡터}} \tag{3}

유도 · 생략 없이

앞 단원과 같이 장을 전개한다. $\phi = \tfrac{1}{\sqrt2}\left(v + h + i\chi\right)$ 를 (1) 의 운동항에 넣는다. 공변 미분은

D_\mu\phi = \frac{1}{\sqrt2}\left(\partial_\mu h + i\,\partial_\mu\chi\right) + \frac{ie}{\sqrt2}A_\mu\left(v + h + i\chi\right) \tag{4}

이고, 절댓값 제곱을 취해 이차항까지 모으면 세 덩어리가 나온다.

\left|D_\mu\phi\right|^2 \supset \frac12\left(\partial_\mu h\right)^2 + \frac12\left(\partial_\mu\chi\right)^2 + \frac12 e^2 v^2 A_\mu A^\mu - e\,v\,A^\mu\,\partial_\mu\chi \tag{5}

셋째 항이 목표물이다. 벡터장의 정준 질량항은 $\tfrac12 m_A^2 A_\mu A^\mu$ 이므로 (2) 의 $m_A = ev$ 를 읽는다. 진공 기댓값이 0이면 이 항도 0이라는 점이 중요하다. 질량은 대칭이 깨진 정도에 정확히 비례한다.

그런데 넷째 항이 남아 있다. $A_\mu$ 와 $\chi$ 가 섞여 있으므로 이 상태로는 어느 쪽도 질량 고유 상태가 아니다. 이 항이 힉스 기작의 진짜 내용이다. 두 가지 방식으로 처리할 수 있다.

첫째, 게이지 변환을 쓴다. $A_\mu \to A_\mu - \tfrac{1}{ev}\partial_\mu\chi$ 를 하면 넷째 항이 셋째 항의 교차항과 합쳐 사라진다. 이 이동은 앞 단원의 게이지 변환 규칙 a3-1 의 게이지 변환 규칙에서 $\alpha(x) = -\chi(x)/v$ 를 고른 것과 같다. 즉 게이지 자유를 써서 $\chi$ 를 아예 0으로 놓을 수 있다. 이 게이지 선택을 단위 게이지라 부른다. 지수 형식으로 쓰면 더 분명하다.

\phi(x) = \frac{1}{\sqrt2}\left(v + h(x)\right)\exp\!\left(\frac{i\chi(x)}{v}\right) \;\xrightarrow{\ \text{게이지 고정}\ }\; \frac{1}{\sqrt2}\left(v + h(x)\right) \tag{6}

$\chi$ 는 위상에만 들어가 있고, 국소 위상은 게이지 변환이 마음대로 바꿀 수 있는 것이었다. 그러므로 $\chi$ 는 애초에 물리적 자유도가 아니었다.

둘째, 게이지를 고정하지 않고 세어도 결론은 같다. (5) 의 셋째와 넷째 항을 함께 보면 $\tfrac12 e^2v^2\left(A_\mu - \tfrac{1}{ev}\partial_\mu\chi\right)^2$ 로 완전제곱이 되고, 괄호 안의 조합만이 물리적 장이다. $\chi$ 는 독립적으로 전파하지 않는다.

퍼텐셜 쪽은 게이지 장과 무관하므로 앞 단원의 결과가 그대로 살아남는다. $V$ 의 $h$ 이차항에서 $m_h^2 = 2\mu^2 = 2\lambda v^2$ 를 얻는다.

이제 (3) 를 읽는다. 처음에 복소 스칼라 2개와 무질량 벡터의 가로 편광 2개, 합쳐 4다. 나중에 실수 스칼라 $h$ 1개와 무거운 벡터의 편광 3개, 합쳐 4다. 자유도는 보존된다. 골드스톤 보손은 사라진 것이 아니라 게이지 보손의 세로 편광이 되었다. 흔히 "먹혔다"고 표현한다.

기작의 논리적 순서를 한 번 더 짚어 둔다. 게이지 대칭은 어느 단계에서도 깨지지 않았다. (1) 은 완전히 게이지 불변이고, 우리가 한 일은 특정 게이지를 고르고 특정 진공 주위에서 전개한 것뿐이다. 그래서 재규격화 가능성이 살아남는다. 손으로 넣은 프로카 질량과 결정적으로 다른 점이 이것이다 [4].

예제 1 · 초전도체와 침투 깊이

(1) 은 초전도체의 긴즈부르크-란다우 이론과 같은 식이다. 쿠퍼 쌍의 응축이 $\langle\phi\rangle \neq 0$ 을 만들고, 광자가 유효 질량 $m_A = ev$ 를 얻는다. 무거운 매개 입자는 힘의 도달 거리를 $1/m_A$ 로 줄이므로 자기장이 표면에서 지수적으로 감쇠한다. 이것이 마이스너 효과이며, 런던 침투 깊이가 바로 $\lambda_L = 1/m_A$ 다.

물리적으로 관측 가능한 값이 질량의 역수로 나온다는 사실은 기작이 형식적 장난이 아님을 보여 준다. 실험실에서 힉스 기작을 매일 측정하고 있는 셈이다.

예제 2 · 비가환 경우의 셈

SU(2) 게이지 이론에 복소 이중항 $\Phi$ 를 넣고 $\langle\Phi\rangle = \tfrac{1}{\sqrt2}(0,v)^{\mathsf T}$ 를 준다. 세 생성자 모두가 이 진공을 죽이지 못하므로 $G = SU(2)$ 가 완전히 깨진다. 무질량 모드는 3개이고 게이지 보손도 3개이므로, 세 개 모두가 질량을 얻는다. 질량항은 $\left|D_\mu\Phi\right|^2$ 에서 $\tfrac18 g^2 v^2 W^a_\mu W^{a\,\mu}$ 로 나와 $m_W = gv/2$ 다.

자유도를 세면 $4 + 3\times2 = 10$ 에서 $1 + 3\times3 = 10$ 으로 맞는다. 이중항의 실수 자유도 4개 중 3개가 먹히고 1개가 힉스 보손으로 남는다. 다음 단원에서 여기에 $U(1)_Y$ 를 더해 광자 하나가 무질량으로 살아남게 만든다.

연습문제

문제 1계산형

(1) 에서 $m_h$ 와 $m_A$ 의 비를 $\lambda$ 와 $e$ 로 표현하고, 실측된 $m_h \approx 125$ GeV, $m_W \approx 80$ GeV 를 쓸 때 힉스 자기결합이 게이지 결합에 비해 어느 정도인지 말하시오.

해설

(2) 에서 $m_h/m_A = \sqrt{2\lambda}/e$ 다. 전기약 이론으로 옮기면 $m_h/m_W = 2\sqrt{2\lambda}/g$ 이고, 수치를 넣으면 $\sqrt{2\lambda}/g \approx 0.78$ 이므로 $\lambda$ 와 $g^2$ 가 같은 자릿수다. 힉스 자기결합은 약하지도 강하지도 않은 어중간한 값이다.

흔한 오류는 $v$ 를 몰라도 비를 구할 수 있다는 점을 놓치고 $v = 246$ GeV 를 먼저 찾아 헤매는 것이다. 그럴듯한 이유는 두 질량이 모두 $v$ 에 비례한다는 사실을 계산 도중에 잊기 쉽기 때문이다. 비를 구할 때 $v$ 가 상쇄된다는 것을 먼저 확인하면 계산이 짧아진다.

문제 2유도형

(5) 의 셋째와 넷째 항을 완전제곱으로 묶고, 그 과정에서 $\left(\partial_\mu\chi\right)^2$ 항이 어떻게 처리되는지 설명하시오.

해설

$\tfrac12 e^2v^2 A^2 - evA\cdot\partial\chi + \tfrac12(\partial\chi)^2 = \tfrac12 e^2v^2\left(A_\mu - \tfrac{1}{ev}\partial_\mu\chi\right)^2$ 이다. 즉 골드스톤의 운동항까지 포함해야 완전제곱이 닫힌다. 새 변수 $B_\mu \equiv A_\mu - \tfrac{1}{ev}\partial_\mu\chi$ 를 정의하면 $F_{\mu\nu}$ 는 $\chi$ 항이 미분의 교환으로 지워져 그대로 $B_\mu$ 의 장세기가 되고, 라그랑지안은 $-\tfrac14 B_{\mu\nu}B^{\mu\nu} + \tfrac12 m_A^2 B_\mu B^\mu$ 로 깨끗한 프로카 형태가 된다.

흔한 오류는 $(\partial\chi)^2$ 을 골드스톤의 독립적 운동항으로 따로 남겨 두고 교차항만 게이지 변환으로 없애려는 것이다. 그럴듯한 이유는 (5) 에서 세 항이 서로 다른 줄에 적혀 있기 때문이다. 그러나 그렇게 하면 자유도가 5개가 되어 (3) 가 깨진다. 셋은 한 덩어리다.

문제 3개념 진술형

"힉스 기작이 우주의 모든 질량의 근원이다"라는 대중적 설명이 왜 부정확한지 300자 이내로 밝히시오.

해설

힉스 기작은 게이지 보손과 기본 페르미온의 질량을 설명한다. 그러나 우리 몸무게의 대부분은 양성자와 중성자에서 오고, 핵자 질량의 99% 가까이는 쿼크의 정지 질량이 아니라 QCD 의 결합 에너지와 운동 에너지다. 이 부분은 자발적 대칭붕괴와는 다른 기제, 즉 강한 상호작용의 가둠에서 나온다.

또한 힉스는 자기 자신의 질량을 $\lambda$ 와 $v$ 로 주지만 $\lambda$ 값을 예측하지는 않는다. 페르미온 질량도 마찬가지로 유카와 결합상수를 손으로 넣어야 한다. 기작은 질량이 어떻게 게이지 불변과 양립하는지를 설명할 뿐, 질량값이 왜 그 값인지는 설명하지 않는다.

흔한 오류는 "힉스 장이 입자에 저항을 준다"는 비유를 문자 그대로 받아들이는 것이다. 그럴듯한 이유는 비유가 관성이라는 익숙한 개념을 쓰기 때문이다. 그러나 저항이라면 등속 운동을 늦출 것이고, 그것은 상대성 원리에 어긋난다. 실제로 일어나는 일은 진공 기댓값이 분산 관계의 상수항을 바꾸는 것뿐이다.

더 읽기

1964년의 세 편 중 [3]와 [2]를 나란히 읽으면 강조점의 차이가 보인다. 힉스만이 남는 스칼라 입자를 명시했다.
응집물질 쪽 선행 논의는 [1]에 있다.
단위 게이지와 $R_\xi$ 게이지의 비교, 그리고 재규격화 가능성 논의는 [4] 21장, [5] 29장에 있다.

참고문헌

Anderson, P. W. (1972). More Is Different. Science 177, 393–396. doi:10.1126/science.177.4047.393
Englert, F. C. and Brout, R. (1964). Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons. Physical Review Letters 13, 321–323. doi:10.1103/PhysRevLett.13.321
Higgs, P. W. (1964). Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons. Physical Review Letters 13, 508–509. doi:10.1103/PhysRevLett.13.508
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
Schwartz, M. D. (2014). Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press.

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