자발적 대칭붕괴

검토 중내용은 공개하되 출처 확인이 아직 끝나지 않았습니다. 유도와 인용을 직접 확인하고 읽으세요.검토 상태란

수식 없는 요지

막대기를 세로로 세워 놓고 위에서 누르면 어느 쪽으로든 휘어진다. 누르는 방식에는 방향이 없었는데 휘어진 결과에는 방향이 생긴다. 법칙은 대칭인데 실현된 상태는 대칭이 아닌 이런 상황을 자발적 대칭붕괴라 부른다. 장이론에서 이런 일이 벌어지면 반드시 대가가 따르는데, 깨진 방향 하나마다 에너지를 거의 쓰지 않고 움직일 수 있는 모드가 하나씩 생긴다. 이 단원은 그런 모드가 몇 개나 생기는지 세는 법을 배우고, 다음 단원에서 그 모드들이 어디로 사라지는지 본다.

동기 · 대칭이 있는데 보이지 않을 때

대칭은 보통 겹침으로 나타난다. 회전 대칭이 있으면 같은 에너지의 상태가 여러 개 있다. 그런데 자연에는 대칭이 분명히 있어 보이는데 겹침이 보이지 않는 계가 많다. 강자성체는 회전 대칭인 상호작용에서 출발하지만 낮은 온도에서 특정 방향으로 자화된다. 초전도체는 U(1) 대칭인 전자기 이론에서 출발하지만 광자가 유한한 침투 깊이를 갖는다.

앞 단원에서 게이지 보손의 질량항이 금지된다는 것을 보았다. 그러나 초전도체 안의 광자는 실질적으로 질량이 있다. 앤더슨은 이 현상이 게이지 대칭을 버리지 않고도 일어난다는 점을 지적했다 [1]. 이 단원은 그 기제의 앞쪽 절반, 즉 게이지 장을 아직 켜지 않은 경우를 다룬다.

핵심 수식

복소 스칼라 장에 대칭인 퍼텐셜을 준다.

V(\phi) = -\mu^2\,\phi^*\phi + \lambda\left(\phi^*\phi\right)^2 , \qquad \mu^2 > 0,\ \lambda > 0 \tag{1}

부호에 주의한다. $\phi^*\phi$ 앞의 계수가 음수이므로 이것은 질량이 아니다. 최솟값은 원점이 아니라 원 위에 있다.

|\phi|_{\min} = \frac{v}{\sqrt2} , \qquad v = \frac{\mu}{\sqrt\lambda} \tag{2}

일반적으로 대칭군 $G$ 가 진공을 남기는 부분군 $H$ 로 깨질 때, 무질량 모드의 개수는 두 군의 차원 차이와 같다.

N_{\text{Goldstone}} = \dim G - \dim H \tag{3}

유도 · 생략 없이

먼저 구체적인 경우를 본다. (2) 이 정하는 최솟값은 하나가 아니라 위상 $\theta$ 로 매개되는 원 전체다. 이론은 어느 점을 고를지 말해 주지 않는다. 계가 한 점을 고르는 순간 U(1) 대칭이 진공에서 실현되지 않는다. 라그랑지안은 여전히 대칭이라는 점이 핵심이다. 대칭은 없어진 것이 아니라 숨은 것이다.

$\theta = 0$ 인 진공을 고르고 장을 그 주위로 전개한다.

\phi(x) = \frac{1}{\sqrt2}\left(v + h(x) + i\chi(x)\right) \tag{4}

(1) 에 넣고 $h, \chi$ 의 이차까지 모으면 상수항 $-\tfrac14\lambda v^4$ 다음에

V \supset \mu^2 h^2 + \left(\chi \text{ 의 이차항은 남지 않음}\right) \tag{5}

가 남는다. 직접 확인해 보자. $\phi^*\phi = \tfrac12\left((v+h)^2 + \chi^2\right)$ 이므로 $\chi$ 는 항상 $\chi^2$ 의 조합으로만 들어오고, $|\phi|^2 = \tfrac12 v^2$ 라는 최솟값 조건 근처에서 $\chi^2$ 항들이 정확히 상쇄된다. 결과는

m_h^2 = 2\mu^2 = 2\lambda v^2 , \qquad m_\chi^2 = 0 \tag{6}

이다. $h$ 는 원의 반지름 방향, 즉 퍼텐셜의 벽을 오르는 방향이므로 질량이 있다. $\chi$ 는 원을 따라 도는 방향, 즉 골짜기 바닥을 따라 움직이는 방향이므로 되돌리는 힘이 없다. 무질량 모드의 기하학적 정체가 이것이다.

이제 일반 증명으로 간다. 실수 장 $\phi_a$ 들이 $\phi_a \to \phi_a + i\epsilon^A (T^A)_{ab}\phi_b$ 로 변환하고 $V$ 가 불변이라 하자. 무한소 불변성은

\frac{\partial V}{\partial \phi_a}\,(T^A)_{ab}\,\phi_b = 0 \tag{7}

이고, 이것은 장 공간 전체에서 항등적으로 성립한다. 항등식이므로 $\phi_c$ 로 한 번 더 미분할 수 있다.

\frac{\partial^2 V}{\partial\phi_c\,\partial\phi_a}\,(T^A)_{ab}\,\phi_b + \frac{\partial V}{\partial\phi_a}\,(T^A)_{ac} = 0 \tag{8}

이제 진공 $\phi = \langle\phi\rangle$ 에서 평가한다. 진공은 최솟값이므로 둘째 항의 $\partial V/\partial\phi_a$ 가 0이다. 첫째 항의 이차 도함수는 정의상 질량 제곱 행렬 $M^2_{ca}$ 다. 따라서

M^2_{ca}\,\left(T^A\langle\phi\rangle\right)_a = 0 \tag{9}

가 남는다. 읽는 법이 중요하다. 생성자 $T^A$ 가 진공을 죽이면, 즉 $T^A\langle\phi\rangle = 0$ 이면 (9) 은 아무 정보도 주지 않는다. 이런 생성자들이 남는 대칭 $H$ 를 이룬다. 반대로 $T^A\langle\phi\rangle \neq 0$ 이면 그 벡터는 $M^2$ 의 영벡터이고, 곧 질량이 0인 모드다. 깨진 생성자 하나마다 무질량 스칼라 하나. (3) 이 증명되었다.

증명이 퍼텐셜의 모양이나 결합상수의 값에 전혀 의존하지 않는다는 점을 보아 두자. 쓴 것은 대칭 (7) 과 극값 조건뿐이다. 그래서 골드스톤 정리는 섭동 이론 너머에서도 성립한다 [2].

예제 1 · O(N) 모형에서 모드 세기

실수 장 $N$ 개가 $V = -\tfrac12\mu^2\phi^a\phi^a + \tfrac{\lambda}{4}(\phi^a\phi^a)^2$ 를 갖는다고 하자. 대칭군은 $O(N)$ 이고 $\dim O(N) = N(N-1)/2$ 다. 진공을 $\langle\phi\rangle = (0,\dots,0,v)$ 로 잡으면 마지막 축을 건드리지 않는 회전, 즉 $O(N-1)$ 이 남는다. (3) 에 넣으면

\frac{N(N-1)}{2} - \frac{(N-1)(N-2)}{2} = N-1 \tag{10}

개의 무질량 모드가 나온다. 장은 $N$ 개인데 질량이 있는 것은 하나뿐이고 나머지 $N-1$ 개는 구면 $S^{N-1}$ 위를 도는 방향이다. $N = 2$ 로 두면 (6) 의 결과와 정확히 일치한다.

예제 2 · 전기약 대칭의 셈

$SU(2)_L \times U(1)_Y$ 는 차원이 $3 + 1 = 4$ 다. 복소 이중항 $\Phi$ 의 진공 기댓값을 $\langle\Phi\rangle = \tfrac{1}{\sqrt2}(0, v)^{\mathsf T}$ 로 잡으면, 이 벡터를 죽이는 생성자 조합은 전하 연산자 $Q = T^3 + Y/2$ 하나뿐이다. 남는 군은 $U(1)_{\text{em}}$ 이고 차원이 1이다. 따라서 무질량 모드는 $4 - 1 = 3$ 개다.

한편 이중항은 실수 자유도로 4개이므로, 3개가 무질량이 되고 1개가 질량을 갖는다. 그 하나가 힉스 보손이다. 그리고 깨진 생성자 3개는 게이지 장 $W^{\pm}, Z$ 와 정확히 짝지어진다. 다음 단원에서 이 3개의 무질량 모드가 관측되지 않는 이유를 본다. 게이지 장을 켜면 이들이 사라지기 때문이다. 대칭붕괴의 셈은 통일 시도마다 되풀이되는 계산이며, 더 큰 군에서 출발하는 대통일 모형에서도 같은 방식으로 남는 게이지 보손의 수를 정한다.

연습문제

문제 1계산형

(1) 에 (4) 를 대입해 $\chi$ 의 이차항이 정확히 사라짐을 손으로 확인하시오.

해설

$\phi^*\phi = \tfrac12\left[(v+h)^2 + \chi^2\right]$ 를 $s$ 라 두면 $V = -\mu^2 s + \lambda s^2$ 다. $s = \tfrac12 v^2 + vh + \tfrac12 h^2 + \tfrac12\chi^2$ 이므로, $\chi^2$ 을 포함하는 항은 $-\mu^2\cdot\tfrac12\chi^2$ 과 $\lambda\cdot 2\cdot\tfrac12 v^2\cdot\tfrac12\chi^2 = \tfrac12\lambda v^2\chi^2$ 다. $\lambda v^2 = \mu^2$ 이므로 둘이 상쇄된다.

흔한 오류는 $-\mu^2$ 의 부호를 보고 $\chi$ 에 타키온 질량이 남는다고 결론짓는 것이다. 그럴듯한 이유는 원래 라그랑지안의 질량항 부호가 정말 음수이기 때문이다. 그러나 전개의 기준점이 원점이 아니라 $v$ 이고, 사차항이 $v^2$ 에 비례하는 양의 기여를 정확히 같은 크기로 돌려준다. 타키온은 잘못된 진공 주위에서 전개했다는 신호일 뿐이다.

문제 2유도형

(9) 이 무질량 모드를 준다는 결론에서, 그 모드의 장 조합이 무엇인지 밝히시오.

해설

$M^2$ 의 영벡터가 $\left(T^A\langle\phi\rangle\right)_a$ 이므로, 질량 고유 상태 중 무질량인 것은 그 방향으로 놓인 요동이다. 즉 $\pi^A \propto \left(T^A\langle\phi\rangle\right)_a \phi_a$ 조합이 골드스톤 보손이다. 기하학적으로는 진공 다양체 $G/H$ 의 접벡터이며, 진공을 다른 진공으로 옮기는 방향이다. 에너지가 변하지 않으므로 질량이 0이다.

흔한 오류는 깨진 생성자와 골드스톤 보손이 일대일이 아니라 다대일일 수 있다고 보는 것이다. 그럴듯한 이유는 여러 생성자가 진공을 같은 방향으로 움직일 수도 있어 보이기 때문이다. 그러나 $T^A\langle\phi\rangle$ 들이 선형종속이면 그 선형결합이 진공을 죽이므로 그 조합은 이미 $H$ 에 속한다. 깨진 생성자만 남기면 자동으로 일차독립이다.

문제 3개념 진술형

"자발적 대칭붕괴에서는 대칭이 깨진다"는 표현이 왜 오해를 부르는지 300자 이내로 설명하시오.

해설

깨지는 것은 라그랑지안이 아니라 진공이다. 라그랑지안은 끝까지 대칭이고, 뇌터 흐름도 여전히 보존된다. 달라지는 것은 대칭 변환이 진공을 다른 진공으로 옮긴다는 점이며, 그 결과 입자 스펙트럼이 대칭적으로 보이지 않을 뿐이다. 대칭은 상태들 사이의 관계로 여전히 작동한다. 예를 들어 골드스톤 보손의 낮은 에너지 상호작용은 깨진 대칭이 정확히 제약한다.

흔한 오류는 자발적 붕괴를 명시적 붕괴와 같게 보는 것이다. 명시적 붕괴는 라그랑지안에 대칭을 어기는 항을 직접 넣는 것이고, 그때는 보존류가 실제로 보존되지 않는다. 그럴듯한 이유는 두 경우 모두 결과 스펙트럼이 비대칭으로 보이기 때문이다. 그러나 예측력이 전혀 다르다. 자발적 붕괴는 질량과 결합에 대한 엄밀한 관계식을 남기고, 명시적 붕괴는 남기지 않는다.

더 읽기

응집물질에서 출발한 앤더슨의 지적은 [1]에 있다. 초전도체가 게이지 이론의 실험실이 되는 이유가 여기서 분명해진다.
골드스톤 정리의 장이론적 증명과 스펙트럼 정리는 [2] 19장이 가장 꼼꼼하다.
유효 퍼텐셜 관점의 재정리는 [3] 11장과 [4] IV.1절에 있다. [5] 28장은 선형 시그마 모형으로 같은 이야기를 반복한다.

참고문헌

Anderson, P. W. (1972). More Is Different. Science 177, 393–396. doi:10.1126/science.177.4047.393
Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields, Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press.
Peskin, M. E. and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
Zee, A. (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell. Princeton University Press, 2판.
Schwartz, M. D. (2014). Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press.

초고 AI 보조이 글은 초고 작성에 AI 보조를 썼습니다. 수식 유도와 인용은 사람이 확인해야 검토 완료로 올라갑니다.사용 범위

A3-3자발적 대칭붕괴